Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3}{x - 1}$ , $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 1

Berechne den Zähler in $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ .

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Schritt 1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{3}{(x + h) - 1}$

Schritt 1.2

Ersetze die Funktionsbezeichner in $f (x + h) - f (x)$ durch die tatsächlichen Funktionen.

$(\frac{3}{(x + h) - 1}) - (\frac{3}{x - 1})$

Schritt 1.3

Vereinfache $(\frac{3}{(x + h) - 1}) - (\frac{3}{x - 1})$ .

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Schritt 1.3.1

Multipliziere $- 1$ mit $\frac{3}{x - 1}$ .

$\frac{3}{x + h - 1} - \frac{3}{x - 1}$

Schritt 1.3.2

Um $\frac{3}{x + h - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{x - 1}$

Schritt 1.3.3

Um $- \frac{3}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{3}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}$

Schritt 1.3.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h - 1) (x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{3}{x + h - 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}$

Schritt 1.3.4.2

Mutltipliziere $\frac{3}{x - 1}$ mit $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{3 (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{3 (x + h - 1)}{(x - 1) (x + h - 1)}$

Schritt 1.3.4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + h - 1)$ um.

$\frac{3 (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{3 (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 (x - 1) - 3 (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 (x - 1) - 3 (x + h - 1)$ heraus.

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Schritt 1.3.6.1.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 (x + h - 1)$ heraus.

$\frac{3 (x - 1) + 3 (- (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 1.3.6.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3 (x - 1) + 3 (- (x + h - 1))$ heraus.

$\frac{3 (x - 1 - (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 1.3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (x - 1 - x - h - - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 1.3.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3 (x - 1 - x - h + 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 1.3.6.4

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$\frac{3 (0 - 1 - h + 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 1.3.6.5

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{3 (- 1 - h + 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 1.3.6.6

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{3 (- h + 0)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 1.3.6.7

Addiere $- h$ und $0$ .

$\frac{3 \cdot - 1 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 1.3.6.8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.3.6.8.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- (3 h)}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 1.3.6.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 2

Forme $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ um.

$\frac{- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 3

Vereinfache $\frac{- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ in den Zähler.

$\frac{- 3 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $h$ aus $- 3 h$ heraus.

$\frac{h \cdot - 3}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot - 3}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{(x + h - 1) (x - 1)}$