Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ als Gleichung.

$y = \frac{\sqrt{x}}{2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{\sqrt{y}}{2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sqrt{y}}{2} = x$ um.

$\frac{\sqrt{y}}{2} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{\sqrt{y}}{2} = 2 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\sqrt{y}}{2} = 2 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{y} = 2 x$

Schritt 3.4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y}}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(2 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Vereinfache.

$y = {(2 x)}^{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache ${(2 x)}^{2}$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$y = 2^{2} x^{2}$

Schritt 3.5.3.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = 4 x^{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 {(\frac{\sqrt{x}}{2})}^{2}$

Schritt 5.2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{x}}{2}$ an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{{\sqrt{x}}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 5.2.4

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 5.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}})$

Schritt 5.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}})$

Schritt 5.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Schritt 5.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{2^{2}})$

Schritt 5.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{2^{2}})$

Schritt 5.2.4.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{2^{2}})$

Schritt 5.2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{4})$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = 4 (\frac{x}{4})$

Schritt 5.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{2}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (4 x^{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (4 x^{2}) = \frac{\sqrt{4 x^{2}}}{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$f (4 x^{2}) = \frac{\sqrt{{(2 x)}^{2}}}{2}$

Schritt 5.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (4 x^{2}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (4 x^{2}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (4 x^{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2}$