Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{| x | - x}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{| x | - x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| x | - x \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe $| x | - x \geq 0$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.1.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x - x \geq 0$

Schritt 2.1.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.1.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x - x \geq 0$

Schritt 2.1.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x - x \geq 0 & x \geq 0 \\ - x - x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.1.6

Subtrahiere $x$ von $x$ .

${\begin{cases} 0 \geq 0 & x \geq 0 \\ - x - x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.1.7

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

${\begin{cases} 0 \geq 0 & x \geq 0 \\ - 2 x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.2

Löse $0 \geq 0$ , wenn $x \geq 0$ ergibt.

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Schritt 2.2.1

Da $0 = 0$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Immer wahr

Schritt 2.2.2

Ermittle die Schnittmenge.

$x \geq 0$

Schritt 2.3

Löse $- 2 x \geq 0$ , wenn $x < 0$ ergibt.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x \geq 0$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Teile jeden Term in $- 2 x \geq 0$ durch $- 2$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{0}{- 2}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} \leq \frac{0}{- 2}$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 2}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$x \leq 0$

Schritt 2.3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x \leq 0$ und $x < 0$ .

$x < 0$

Schritt 2.4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

Alle reellen Zahlen

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt{| x | - x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{| x | - x} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{| x | - x}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{| x | - x}$ als ${(| x | - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache ${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(| x | - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(| x | - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(| x | - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(| x | - x)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Vereinfache.

$| x | - x = 0^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| x | - x = 0$

Schritt 4.3

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$| x | = x$

Schritt 4.4

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm x$

Schritt 4.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = x$

Schritt 4.5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.5.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x - x = 0$

Schritt 4.5.2.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$0 = 0$

Schritt 4.5.3

Da $0 = 0$ , ist die Gleichung immer erfüllt.

Immer wahr

Schritt 4.5.4

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - x$

Schritt 4.5.5

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.5.5.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + x = 0$

Schritt 4.5.5.2

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x = 0$

Schritt 4.5.6

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.5.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 4.5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.6.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 4.5.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x =, 0$

Schritt 4.6

Verifiziere jede der Lösngen durch Einsetzen in $\sqrt{| x | - x} = 0$ und Auflösen.

$x = 0$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq 0}$

Schritt 6