Elementarmathematik Beispiele

$y = \frac{1}{4} (8 x - x^{2})$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{1}{4} \cdot (8 x - x^{2})$ .

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{4} (8 x) + \frac{1}{4} (- x^{2})$

Schritt 1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8 x$ heraus.

$y = \frac{1}{4} (4 (2 x)) + \frac{1}{4} (- x^{2})$

Schritt 1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{4} (4 (2 x)) + \frac{1}{4} (- x^{2})$

Schritt 1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = 2 x + \frac{1}{4} (- x^{2})$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{2}$ .

$y = 2 x - \frac{x^{2}}{4}$

Schritt 1.1.4

Stelle $2 x$ und $- \frac{x^{2}}{4}$ um.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 2 x$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{4} + 2 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 2$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{- \frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$d = \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = - (1 \cdot 4)$

Schritt 1.2.3.2.4

Multipliziere $- (1 \cdot 4)$ .

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Schritt 1.2.3.2.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$d = - 1 \cdot 4$

Schritt 1.2.3.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$d = - 4$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{4}{\frac{- 4}{4}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Dividiere $4$ durch $- 1$ .

$e = 0 - - 4$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $0$ und $4$ .

$e = 4$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{4} {(x - 4)}^{2} + 4$ ein.

$- \frac{1}{4} {(x - 4)}^{2} + 4$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - 4)}^{2} + 4$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 4$

$k = 4$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(4, 4)$

Schritt 4