Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x - 8}{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x - 8}{5}$ als Gleichung.

$y = \frac{x - 8}{5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y - 8}{5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y - 8}{5} = x$ um.

$\frac{y - 8}{5} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $5$ .

$5 \frac{y - 8}{5} = 5 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{y - 8}{5} = 5 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y - 8 = 5 x$

Schritt 3.4

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 5 x + 8$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 5 x + 8$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 5 x + 8$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x - 8}{5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x - 8}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 8}{5}) = 5 (\frac{x - 8}{5}) + 8$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x - 8}{5}) = 5 (\frac{x - 8}{5}) + 8$

Schritt 5.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x - 8}{5}) = x - 8 + 8$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 8 + 8$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 8}{5}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 8}{5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (5 x + 8)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (5 x + 8) = \frac{(5 x + 8) - 8}{5}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f (5 x + 8) = \frac{5 x + 0}{5}$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $5 x$ und $0$ .

$f (5 x + 8) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (5 x + 8) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (5 x + 8) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 5 x + 8$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x - 8}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 5 x + 8$