Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x - 6}{6}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x - 6}{6}$ als Gleichung.

$y = \frac{x - 6}{6}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y - 6}{6}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y - 6}{6} = x$ um.

$\frac{y - 6}{6} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $6$ .

$6 \frac{y - 6}{6} = 6 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{y - 6}{6} = 6 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y - 6 = 6 x$

Schritt 3.4

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 6 x + 6$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 6 x + 6$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 6 x + 6$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x - 6}{6}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x - 6}{6})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{6}) = 6 (\frac{x - 6}{6}) + 6$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{6}) = 6 (\frac{x - 6}{6}) + 6$

Schritt 5.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{6}) = x - 6 + 6$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 6 + 6$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{6}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 6}{6}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (6 x + 6)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (6 x + 6) = \frac{(6 x + 6) - 6}{6}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $(6 x + 6) - 6$ und $6$ .

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x) + 6 - 6}{6}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x) + 6 \cdot 1 - 6}{6}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (x) + 6 (1)$ heraus.

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x + 1) - 6}{6}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $6$ aus $- 6$ heraus.

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x + 1) + 6 \cdot - 1}{6}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $6$ aus $6 (x + 1) + 6 (- 1)$ heraus.

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x + 1 - 1)}{6}$

Schritt 5.3.3.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.6.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x + 1 - 1)}{6 (1)}$

Schritt 5.3.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (6 x + 6) = \frac{6 (x + 1 - 1)}{6 \cdot 1}$

Schritt 5.3.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (6 x + 6) = \frac{x + 1 - 1}{1}$

Schritt 5.3.3.6.4

Dividiere $x + 1 - 1$ durch $1$ .

$f (6 x + 6) = x + 1 - 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (6 x + 6) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (6 x + 6) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 6 x + 6$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x - 6}{6}$ .

$f^{- 1} (x) = 6 x + 6$