Elementarmathematik Beispiele

$\frac{1}{x^{2} - \frac{1}{25}}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2} - \frac{1}{25}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - \frac{1}{25} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $\frac{1}{25}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = \frac{1}{25}$

Schritt 2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{25}}$

Schritt 2.3

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{25}}$ .

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Schritt 2.3.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{25}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}$

Schritt 2.3.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{25}}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Schritt 2.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{1}{5}$

Schritt 2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{5}$

Schritt 2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{5}$

Schritt 2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{1}{5}) \cup (- \frac{1}{5}, \frac{1}{5}) \cup (\frac{1}{5}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq \frac{1}{5}, - \frac{1}{5}}$

Schritt 4