Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2} - 4}{- x - 2}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{2} - 4}{- x - 2}$ nicht definiert ist.

$x = - 2$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{- x - 2}$

Schritt 6.1.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{- x - 2}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 2$ und $- x - 2$ .

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Schritt 6.1.2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{(- 1 (- x) + 2) (x - 2)}{- x - 2}$

Schritt 6.1.2.1.2

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{- x - 2}$

Schritt 6.1.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (- 2)$ heraus.

$\frac{- 1 (- x - 2) (x - 2)}{- x - 2}$

Schritt 6.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- x - 2) (x - 2)}{- x - 2}$

Schritt 6.1.2.1.5

Dividiere $- 1 (x - 2)$ durch $1$ .

$- 1 (x - 2)$

Schritt 6.1.2.2

Schreibe $- 1 (x - 2)$ als $- (x - 2)$ um.

$- (x - 2)$

Schritt 6.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x - - 2$

Schritt 6.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- x + 2$

Schritt 6.2

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = - x + 2$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = - x + 2$

Schritt 8