Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x}{(x - 3) \sqrt{x - 2}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - 2}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - 2 \geq 0$

Schritt 2

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x \geq 2$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x}{(x - 3) \sqrt{x - 2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x - 3) \sqrt{x - 2} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$\sqrt{x - 2} = 0$

Schritt 4.2

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4.3

Setze $\sqrt{x - 2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $\sqrt{x - 2}$ gleich $0$ .

$\sqrt{x - 2} = 0$

Schritt 4.3.2

Löse $\sqrt{x - 2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.2.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x - 2}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 2}$ als ${(x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Vereinfache ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.3.2.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 2)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.2.1.2

Vereinfache.

$x - 2 = 0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.3.2.3

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) \sqrt{x - 2} = 0$ wahr machen.

$x = 3, 2$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(2, 3) \cup (3, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x > 2, x \neq 3}$

Schritt 6