Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}$ als Gleichung.

$y = \frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y^{\frac{1}{4}}}{5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{\frac{1}{4}}}{5} = x$ um.

$\frac{y^{\frac{1}{4}}}{5} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $5$ .

$5 \frac{y^{\frac{1}{4}}}{5} = 5 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{y^{\frac{1}{4}}}{5} = 5 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{4}} = 5 x$

Schritt 3.4

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $4$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(5 x)}^{4}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(5 x)}^{4}$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(5 x)}^{4}$

Schritt 3.5.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(5 x)}^{4}$

Schritt 3.5.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(5 x)}^{4}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache ${(5 x)}^{4}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$y = 5^{4} x^{4}$

Schritt 3.5.2.1.2

Potenziere $5$ mit $4$ .

$y = 625 x^{4}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 625 x^{4}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 625 x^{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 {(\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5})}^{4}$

Schritt 5.2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}$ an.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{{(x^{\frac{1}{4}})}^{4}}{5^{4}})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{5^{4}})$

Schritt 5.2.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{x^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{5^{4}})$

Schritt 5.2.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{x}{5^{4}})$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{x}{5^{4}})$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.5.1

Potenziere $5$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{x}{625})$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $625$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = 625 (\frac{x}{625})$

Schritt 5.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (625 x^{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (625 x^{4}) = \frac{{(625 x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf $625 x^{4}$ an.

$f (625 x^{4}) = \frac{625^{\frac{1}{4}} {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $625$ als $5^{4}$ um.

$f (625 x^{4}) = \frac{{(5^{4})}^{\frac{1}{4}} {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Schritt 5.3.3.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (625 x^{4}) = \frac{5^{4 (\frac{1}{4})} {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (625 x^{4}) = \frac{5^{4 (\frac{1}{4})} {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Schritt 5.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (625 x^{4}) = \frac{5 {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Schritt 5.3.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (625 x^{4}) = \frac{5 {(x^{4})}^{\frac{1}{4}}}{5}$

Schritt 5.3.3.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 5.3.3.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (625 x^{4}) = \frac{5 x^{4 (\frac{1}{4})}}{5}$

Schritt 5.3.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (625 x^{4}) = \frac{5 x^{4 (\frac{1}{4})}}{5}$

Schritt 5.3.3.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (625 x^{4}) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.3.3.7

Vereinfache.

$f (625 x^{4}) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (625 x^{4}) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (625 x^{4}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 625 x^{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{4}}}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 625 x^{4}$