Elementarmathematik Beispiele

$y - 3 = {(2 - x)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = {(2 - x)}^{2} + 3$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf ${(2 - x)}^{2} + 3$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(2 - x)}^{2}$ als $(2 - x) (2 - x)$ um.

$(2 - x) (2 - x) + 3$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(2 - x) (2 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 - x) - x (2 - x) + 3$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 2 + 2 (- x) - x (2 - x) + 3$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 2 + 2 (- x) - x \cdot 2 - x (- x) + 3$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 + 2 (- x) - x \cdot 2 - x (- x) + 3$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 - 2 x - x \cdot 2 - x (- x) + 3$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 - 2 x - 2 x - x (- x) + 3$

Schritt 1.2.1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x + 3$

Schritt 1.2.1.1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$4 - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) + 3$

Schritt 1.2.1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1 x^{2} + 3$

Schritt 1.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 - 2 x - 2 x + 1 x^{2} + 3$

Schritt 1.2.1.1.3.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$4 - 2 x - 2 x + x^{2} + 3$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$4 - 4 x + x^{2} + 3$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $4$ und $3$ .

$- 4 x + x^{2} + 7$

Schritt 1.2.1.3

Stelle $- 4 x$ und $x^{2}$ um.

$x^{2} - 4 x + 7$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 7$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{1}$

Schritt 1.2.4.2.2.4

Dividiere $- 2$ durch $1$ .

$d = - 2$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 7 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 4)}^{2}$ und $4$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$e = 7 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (4)$ an.

$e = 7 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 7 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.4

Mutltipliziere $4^{2}$ mit $1$ .

$e = 7 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1$ heraus.

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 7 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 7 - \frac{4}{1}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$e = 7 - 1 \cdot 4$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = 7 - 4$

Schritt 1.2.5.2.2

Subtrahiere $4$ von $7$ .

$e = 3$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x - 2)}^{2} + 3$ ein.

${(x - 2)}^{2} + 3$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = {(x - 2)}^{2} + 3$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = 2$

$k = 3$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(2, 3)$

Schritt 4