Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 12 x - 2 x^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Stelle $12 x$ und $- 2 x^{2}$ um.

$y = - 2 x^{2} + 12 x$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 2 x^{2} + 12 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 2$

$b = 12$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{12}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (- 2)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{6}{- 2}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $- 2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$d = \frac{2 (3)}{- 2}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$d = - 3$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot - 2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$e = 0 - \frac{144}{- 8}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $144$ durch $- 8$ .

$e = 0 - - 18$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 18$ .

$e = 0 + 18$

Schritt 1.2.4.2.2

Addiere $0$ und $18$ .

$e = 18$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 2 {(x - 3)}^{2} + 18$ ein.

$- 2 {(x - 3)}^{2} + 18$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - 2 {(x - 3)}^{2} + 18$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 2$

$h = 3$

$k = 18$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(3, 18)$

Schritt 4