Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = {(x + 1)}^{2} - \frac{25}{9}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Um ${(x + 1)}^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$y = {(x + 1)}^{2} \cdot \frac{9}{9} - \frac{25}{9}$

Schritt 1.1.2

Kombiniere ${(x + 1)}^{2}$ und $\frac{9}{9}$ .

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 9}{9} - \frac{25}{9}$

Schritt 1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 9 - 25}{9}$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$y = \frac{1}{9} \cdot ({(x + 1)}^{2} \cdot 9 - 25)$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{1}{9} \cdot ({(x + 1)}^{2} \cdot 9 - 25)$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$\frac{1}{9} \cdot ((x + 1) (x + 1) \cdot 9 - 25)$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{9} \cdot ((x (x + 1) + 1 (x + 1)) \cdot 9 - 25)$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{9} \cdot ((x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) \cdot 9 - 25)$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{9} \cdot ((x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) \cdot 9 - 25)$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot ((x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) \cdot 9 - 25)$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot ((x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) \cdot 9 - 25)$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot ((x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) \cdot 9 - 25)$

Schritt 1.2.1.1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot ((x^{2} + x + x + 1) \cdot 9 - 25)$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{1}{9} \cdot ((x^{2} + 2 x + 1) \cdot 9 - 25)$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{9} \cdot (x^{2} \cdot 9 + 2 x \cdot 9 + 1 \cdot 9 - 25)$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot x^{2} + 2 x \cdot 9 + 1 \cdot 9 - 25)$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot x^{2} + 18 x + 1 \cdot 9 - 25)$

Schritt 1.2.1.1.5.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 \cdot x^{2} + 18 x + 9 - 25)$

$\frac{1}{9} \cdot (9 x^{2} + 18 x + 9 - 25)$

Schritt 1.2.1.2

Subtrahiere $25$ von $9$ .

$\frac{1}{9} \cdot (9 x^{2} + 18 x - 16)$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{9} (9 x^{2}) + \frac{1}{9} (18 x) + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Schritt 1.2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.2.1.4.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{9} (9 (x^{2})) + \frac{1}{9} (18 x) + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Schritt 1.2.1.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{9} (9 x^{2}) + \frac{1}{9} (18 x) + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Schritt 1.2.1.4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{1}{9} (18 x) + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Schritt 1.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 1.2.1.4.2.1

Faktorisiere $9$ aus $18 x$ heraus.

$x^{2} + \frac{1}{9} (9 (2 x)) + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Schritt 1.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{1}{9} (9 (2 x)) + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Schritt 1.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 2 x + \frac{1}{9} \cdot - 16$

Schritt 1.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $- 16$ .

$x^{2} + 2 x + \frac{- 16}{9}$

Schritt 1.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} + 2 x - \frac{16}{9}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 2$

$c = - \frac{16}{9}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{16}{9} - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = - \frac{16}{9} - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = - \frac{16}{9} - \frac{4}{4}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{16}{9} - \frac{4}{4}$

Schritt 1.2.5.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{16}{9} - 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = - \frac{16}{9} - 1$

Schritt 1.2.5.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$e = - \frac{16}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 1.2.5.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{9}{9}$ .

$e = - \frac{16}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Schritt 1.2.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 16 - 1 \cdot 9}{9}$

Schritt 1.2.5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$e = \frac{- 16 - 9}{9}$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Subtrahiere $9$ von $- 16$ .

$e = \frac{- 25}{9}$

Schritt 1.2.5.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{25}{9}$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + 1)}^{2} - \frac{25}{9}$ ein.

${(x + 1)}^{2} - \frac{25}{9}$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = {(x + 1)}^{2} - \frac{25}{9}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = - 1$

$k = - \frac{25}{9}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 1, - \frac{25}{9})$

Schritt 4