Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$ nicht definiert ist.

$x = 0, x = 4$

Schritt 2

Da $\frac{x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$ $\to$ $- \infty$ , wenn $x$ $\to$ $4$ von links und $\frac{x^{4} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$ $\to$ $\infty$ , wenn $x$ $\to$ $4$ von rechts, dann ist $x = 4$ eine vertikale Asymptote.

$x = 4$

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4} - 4 x^{2}$ heraus.

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Schritt 6.1.1.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{2} x^{2} - 4 x^{2}}{x^{2} - 4 x}$

Schritt 6.1.1.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4}{x^{2} - 4 x}$

Schritt 6.1.1.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 4$ heraus.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 4)}{x^{2} - 4 x}$

Schritt 6.1.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{x^{2} (x^{2} - 2^{2})}{x^{2} - 4 x}$

Schritt 6.1.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2)}{x^{2} - 4 x}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 4 x$ heraus.

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Schritt 6.1.2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2)}{x \cdot x - 4 x}$

Schritt 6.1.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2)}{x \cdot x + x \cdot - 4}$

Schritt 6.1.2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 4$ heraus.

$\frac{x^{2} (x + 2) (x - 2)}{x (x - 4)}$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 6.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (x + 2) (x - 2)$ heraus.

$\frac{x ((x (x + 2)) (x - 2))}{x (x - 4)}$

Schritt 6.1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x ((x (x + 2)) (x - 2))}{x (x - 4)}$

Schritt 6.1.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x (x + 2)) (x - 2)}{x - 4}$

$\frac{x (x + 2) (x - 2)}{x - 4}$

Schritt 6.2

Multipliziere $x (x + 2) (x - 2)$ aus.

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Schritt 6.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x \cdot x + x \cdot 2) (x - 2)}{x - 4}$

Schritt 6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x (x - 2) + x \cdot (2 (x - 2))}{x - 4}$

Schritt 6.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot - 2 + x \cdot (2 (x - 2))}{x - 4}$

Schritt 6.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot - 2 + x \cdot (2 x) + x \cdot 2 \cdot - 2}{x - 4}$

Schritt 6.2.5

Bewege $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot (- 2 x) + x \cdot (2 x) + x \cdot 2 \cdot - 2}{x - 4}$

Schritt 6.2.6

Stelle $x$ und $- 2$ um.

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot (2 x) + x \cdot 2 \cdot - 2}{x - 4}$

Schritt 6.2.7

Stelle $x$ und $2$ um.

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 2 \cdot - 2}{x - 4}$

Schritt 6.2.8

Stelle $x$ und $2$ um.

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot x \cdot - 2}{x - 4}$

Schritt 6.2.9

Bewege $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Schritt 6.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Schritt 6.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Schritt 6.2.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Schritt 6.2.13

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Schritt 6.2.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{1 + 1} x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Schritt 6.2.15

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Schritt 6.2.16

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} x - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Schritt 6.2.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2 + 1} - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Schritt 6.2.18

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x \cdot x + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Schritt 6.2.19

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Schritt 6.2.20

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Schritt 6.2.21

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3} - 2 x^{1 + 1} + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Schritt 6.2.22

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Schritt 6.2.23

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Schritt 6.2.24

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Schritt 6.2.25

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Schritt 6.2.26

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 \cdot (- 2 x)}{x - 4}$

Schritt 6.2.27

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 4 x}{x - 4}$

Schritt 6.2.28

Addiere $- 2 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 - 4 x}{x - 4}$

Schritt 6.2.29

Subtrahiere $4 x$ von $0$ .

$\frac{x^{3} - 4 x}{x - 4}$

Schritt 6.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$4$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$0$

Schritt 6.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			+	$x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 6.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 4 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 6.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Schritt 6.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 6.9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 6.10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$16 x$

Schritt 6.11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{2} - 16 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$

Schritt 6.12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$

Schritt 6.13

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$

Schritt 6.14

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$12$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$

Schritt 6.15

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$12$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$
							+	$12 x$	-	$48$

Schritt 6.16

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 x - 48$

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$12$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$
							-	$12 x$	+	$48$

Schritt 6.17

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$12$
$x$	-	$4$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$4 x$	+	$0$
			-	$x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$12 x$	+	$0$
							-	$12 x$	+	$48$
									+	$48$

Schritt 6.18

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x^{2} + 4 x + 12 + \frac{48}{x - 4}$

Schritt 6.19

Zerlege die Lösung in den Polynomteil und den Rest.

$x^{2} + 4 x + 12 + \frac{48 x}{x^{2} - 4 x}$

Schritt 6.20

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = x^{2} + 4 x + 12$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 4$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = x^{2} + 4 x + 12$

Schritt 8