Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3 x^{2}}{1 - x^{4}}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (x) = \frac{3 x^{2}}{1^{2} - x^{4}}$

Schritt 1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f (x) = \frac{3 x^{2}}{1^{2} - {(x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x^{2}$ .

$f (x) = \frac{3 x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f (x) = \frac{3 x^{2}}{(1 + x^{2}) (1^{2} - x^{2})}$

Schritt 1.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$f (x) = \frac{3 x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}$

Schritt 2

Ermittle $f (- x)$ .

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Schritt 2.1

Ermittle $f (- x)$ durch Einsetzen von $- x$ in $f (x)$ für jedes $x$ .

$f (- x) = \frac{3 {(- x)}^{2}}{(1 + {(- x)}^{2}) (1 - x) (1 - (- x))}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$f (- x) = \frac{3 {(- x)}^{2}}{(1 + {(- x)}^{2}) (1 - x) (1 - (- x))}$

Schritt 2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = \frac{3 {(- 1)}^{2} x^{2}}{(1 + {(- x)}^{2}) (1 - x) (1 + x)}$

Schritt 2.3.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = \frac{3 \cdot (1 x^{2})}{(1 + {(- x)}^{2}) (1 - x) (1 + x)}$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (- x) = \frac{3 x^{2}}{(1 + {(- x)}^{2}) (1 - x) (1 + x)}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.4.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = \frac{3 x^{2}}{(1 + {(- 1)}^{2} x^{2}) (1 - x) (1 + x)}$

Schritt 2.4.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = \frac{3 x^{2}}{(1 + 1 x^{2}) (1 - x) (1 + x)}$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (- x) = \frac{3 x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 - x) (1 + x)}$

Schritt 2.4.4

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- x) = \frac{3 x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 - x) (1 + 1 x)}$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- x) = \frac{3 x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 - x) (1 + x)}$

Schritt 3

Eine Funktion ist gerade, wenn $f (- x) = f (x)$ .

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Schritt 3.1

Prüfe, ob $f (- x) = f (x)$ .

Schritt 3.2

Da $\frac{3 x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 - x) (1 + x)} = \frac{3 x^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + x) (1 - x)}$ , ist die Funktion gerade.

Die Funktion ist gerade

Schritt 4