Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{x + 2}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{x + 2}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{x + 2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{y + 2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{y + 2} = x$ um.

$\sqrt{y + 2} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y + 2}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 2}$ als ${(y + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 2)}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$y + 2 = x^{2}$

Schritt 3.4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{2} - 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{x + 2}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{x + 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = {(\sqrt{x + 2})}^{2} - 2$

Schritt 5.2.3

Schreibe ${\sqrt{x + 2}}^{2}$ als $x + 2$ um.

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Schritt 5.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 2}$ als ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2$

Schritt 5.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2$

Schritt 5.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} - 2$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} - 2$

Schritt 5.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = (x + 2) - 2$

Schritt 5.2.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = x + 2 - 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x + 2}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x^{2} - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 2) = \sqrt{(x^{2} - 2) + 2}$

Schritt 5.3.3

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (x^{2} - 2) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Schritt 5.3.4

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$f (x^{2} - 2) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 5.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (x^{2} - 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{x + 2}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2$