Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt{2 x - 3}}{x^{2} - 5 x + 4}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 x - 3}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x - 3 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Addiere $3$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$2 x \geq 3$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{3}{2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{3}{2}$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{\sqrt{2 x - 3}}{x^{2} - 5 x + 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} - 5 x + 4 = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x^{2} - 5 x + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $- 5$ ist.

$- 4, - 1$

Schritt 4.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 4) (x - 1) = 0$

Schritt 4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 4.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 4) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 4, 1$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[\frac{3}{2}, 4) \cup (4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq \frac{3}{2}, x \neq 4}$

Schritt 6