Elementarmathematik Beispiele

$\frac{x^{2} - 2 x - 3}{- 4 x + 12}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{2} - 2 x - 3}{- 4 x + 12}$ nicht definiert ist.

$x = 3$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $x^{2} - 2 x - 3$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 3$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 3, 1$

Schritt 6.1.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{- 4 x + 12}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x + 12$ heraus.

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Schritt 6.1.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{4 (- x) + 12}$

Schritt 6.1.2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{4 (- x) + 4 (3)}$

Schritt 6.1.2.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (- x) + 4 (3)$ heraus.

$\frac{(x - 3) (x + 1)}{4 (- x + 3)}$

Schritt 6.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x - 3$ und $- x + 3$ .

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Schritt 6.1.2.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{(- 1 (- x) - 3) (x + 1)}{4 (- x + 3)}$

Schritt 6.1.2.2.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (3)) (x + 1)}{4 (- x + 3)}$

Schritt 6.1.2.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- x) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{- 1 (- x + 3) (x + 1)}{4 (- x + 3)}$

Schritt 6.1.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1 (- x + 3) (x + 1)}{4 (- x + 3)}$

Schritt 6.1.2.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (x + 1)}{4}$

Schritt 6.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x + 1}{4}$

Schritt 6.2

Multipliziere $- (x + 1)$ aus.

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Schritt 6.2.1

Kehre das Vorzeichen von $x + 1$ um.

$\frac{- (x + 1)}{4}$

Schritt 6.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x - 1 \cdot 1}{4}$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- x - 1}{4}$

Schritt 6.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$4$

$x$

$1$

Schritt 6.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $4$ .

		-	$\frac{x}{4}$
	$4$	-	$x$	-	$1$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

	-	$\frac{x}{4}$
$4$	-	$x$	-	$1$
	-	$x$

Schritt 6.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x$

	-	$\frac{x}{4}$
$4$	-	$x$	-	$1$
	+	$x$

Schritt 6.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

	-	$\frac{x}{4}$
$4$	-	$x$	-	$1$
	+	$x$
		$0$

Schritt 6.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

	-	$\frac{x}{4}$
$4$	-	$x$	-	$1$
	+	$x$
		$0$	-	$1$

Schritt 6.9

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- \frac{x}{4} - \frac{1}{4}$

Schritt 6.10

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = - \frac{x}{4}$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = - \frac{x}{4}$

Schritt 8