Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2 x^{2} + 11 x + 15}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{1}{2 x^{2} + 11 x + 15}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x^{2} + 11 x + 15 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ und deren Summe gleich $b = 11$ ist.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $11$ aus $11 x$ heraus.

$2 x^{2} + 11 (x) + 15 = 0$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $11$ um als $5$ plus $6$

$2 x^{2} + (5 + 6) x + 15 = 0$

Schritt 2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 5 x + 6 x + 15 = 0$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} + 5 x) + 6 x + 15 = 0$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x + 5) + 3 (2 x + 5) = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 5$ .

$(2 x + 5) (x + 3) = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 2.3

Setze $2 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $2 x + 5$ gleich $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $2 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 5$

Schritt 2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Schritt 2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 2.4

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 5) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{5}{2}, - 3$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - \frac{5}{2}, - 3}$

Schritt 4