Elementarmathematik Beispiele

$x^{2} + 3 y - 4 x = 17$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y - 4 x = 17 - x^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Addiere $4 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = 17 - x^{2} + 4 x$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 17 - x^{2} + 4 x$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = 17 - x^{2} + 4 x$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{17}{3} + \frac{- x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{17}{3} + \frac{- x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{17}{3} + \frac{- x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{17}{3} - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{17}{3} - \frac{x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3}$ an.

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Schritt 1.2.1

Bewege $\frac{17}{3}$ .

$- \frac{x^{2}}{3} + \frac{4 x}{3} + \frac{17}{3}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{3}$

$b = \frac{4}{3}$

$c = \frac{17}{3}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{4}{3}}{2 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 (2)}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 2}{3} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{1}{- \frac{1}{3}}$ .

$d = \frac{2}{3 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$d = \frac{2}{- 3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.4.2.5

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3}$ .

$d = \frac{2}{\frac{- 3}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 1.2.4.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$d = \frac{2}{\frac{3 \cdot - 1}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$d = \frac{2}{\frac{3 \cdot - 1}{3 (1)}}$

Schritt 1.2.4.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1}}$

Schritt 1.2.4.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{\frac{- 1}{1}}$

Schritt 1.2.4.2.6.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = \frac{2}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.7

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Schritt 1.2.4.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = - 2$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{17}{3} - \frac{{(\frac{4}{3})}^{2}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{4}{3}$ an.

$e = \frac{17}{3} - \frac{\frac{4^{2}}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$e = \frac{17}{3} - \frac{\frac{16}{3^{2}}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = \frac{17}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{4 (- \frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = \frac{17}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{- 4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{17}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{\frac{- 4}{3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = \frac{17}{3} - \frac{\frac{16}{9}}{- \frac{4}{3}}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{17}{3} - (\frac{16}{9} (- \frac{3}{4}))$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{4}$ in den Zähler.

$e = \frac{17}{3} - (\frac{16}{9} \cdot \frac{- 3}{4})$

Schritt 1.2.5.2.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$e = \frac{17}{3} - (\frac{4 (4)}{9} \cdot \frac{- 3}{4})$

Schritt 1.2.5.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{17}{3} - (\frac{4 \cdot 4}{9} \cdot \frac{- 3}{4})$

Schritt 1.2.5.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{17}{3} - (\frac{4}{9} \cdot - 3)$

Schritt 1.2.5.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$e = \frac{17}{3} - (\frac{4}{3 (3)} \cdot - 3)$

Schritt 1.2.5.2.1.6.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$e = \frac{17}{3} - (\frac{4}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Schritt 1.2.5.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{17}{3} - (\frac{4}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1))$

Schritt 1.2.5.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{17}{3} - (\frac{4}{3} \cdot - 1)$

Schritt 1.2.5.2.1.7

Kombiniere $\frac{4}{3}$ und $- 1$ .

$e = \frac{17}{3} - \frac{4 \cdot - 1}{3}$

Schritt 1.2.5.2.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = \frac{17}{3} - \frac{- 4}{3}$

Schritt 1.2.5.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = \frac{17}{3} - - \frac{4}{3}$

Schritt 1.2.5.2.1.10

Multipliziere $- - \frac{4}{3}$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = \frac{17}{3} + 1 (\frac{4}{3})$

Schritt 1.2.5.2.1.10.2

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $1$ .

$e = \frac{17}{3} + \frac{4}{3}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{17 + 4}{3}$

Schritt 1.2.5.2.3

Addiere $17$ und $4$ .

$e = \frac{21}{3}$

Schritt 1.2.5.2.4

Dividiere $21$ durch $3$ .

$e = 7$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{3} {(x - 2)}^{2} + 7$ ein.

$- \frac{1}{3} {(x - 2)}^{2} + 7$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{3} \cdot {(x - 2)}^{2} + 7$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{3}$

$h = 2$

$k = 7$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(2, 7)$

Schritt 4