Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{2 x^{2} - 3}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$

Schritt 1

Setze den Nenner in $\frac{2 x^{2} - 3}{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{3} + 1 + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x^{3} + 1^{3} + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Schritt 2.1.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Schritt 2.1.4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x^{2} + 3 x = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2} + 3 x$ heraus.

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Schritt 2.1.5.1

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x) + 3 x = 0$

Schritt 2.1.5.2

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x$ heraus.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x) + 3 x (1) = 0$

Schritt 2.1.5.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (x) + 3 x (1)$ heraus.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x + 1) = 0$

Schritt 2.1.6

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) (x^{2} - x + 1) + 3 x (x + 1)$ heraus.

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Schritt 2.1.6.1

Faktorisiere $x + 1$ aus $3 x (x + 1)$ heraus.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (3 x) = 0$

Schritt 2.1.6.2

Faktorisiere $x + 1$ aus $(x + 1) (x^{2} - x + 1) + (x + 1) (3 x)$ heraus.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1 + 3 x) = 0$

Schritt 2.1.7

Addiere $- x$ und $3 x$ .

$(x + 1) (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Schritt 2.1.8

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.8.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(x + 1) (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.1.8.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 2.1.8.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x + 1) (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 2.1.8.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$(x + 1) {(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) {(x + 1)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 1$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \neq - 1}$

Schritt 4