Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ als Gleichung.

$y = \frac{\sqrt{x}}{5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{\sqrt{y}}{5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\sqrt{y}}{5} = x$ um.

$\frac{\sqrt{y}}{5} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $5$ .

$5 \frac{\sqrt{y}}{5} = 5 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{\sqrt{y}}{5} = 5 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{y} = 5 x$

Schritt 3.4

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y}}^{2} = {(5 x)}^{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(5 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(5 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(5 x)}^{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Vereinfache.

$y = {(5 x)}^{2}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1

Vereinfache ${(5 x)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1.1

Wende die Produktregel auf $5 x$ an.

$y = 5^{2} x^{2}$

Schritt 3.5.3.1.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$y = 25 x^{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 {(\frac{\sqrt{x}}{5})}^{2}$

Schritt 5.2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{x}}{5}$ an.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{{\sqrt{x}}^{2}}{5^{2}})$

Schritt 5.2.4

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}})$

Schritt 5.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}})$

Schritt 5.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{5^{2}})$

Schritt 5.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x^{\frac{2}{2}}}{5^{2}})$

Schritt 5.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{5^{2}})$

Schritt 5.2.4.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{5^{2}})$

Schritt 5.2.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{25})$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = 25 (\frac{x}{25})$

Schritt 5.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x}}{5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (25 x^{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (25 x^{2}) = \frac{\sqrt{25 x^{2}}}{5}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Schreibe $25 x^{2}$ als ${(5 x)}^{2}$ um.

$f (25 x^{2}) = \frac{\sqrt{{(5 x)}^{2}}}{5}$

Schritt 5.3.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (25 x^{2}) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (25 x^{2}) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (25 x^{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{5}$ .

$f^{- 1} (x) = 25 x^{2}$