Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 4 \sqrt[3]{x}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 4 \sqrt[3]{x}$ als Gleichung.

$y = 4 \sqrt[3]{x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 4 \sqrt[3]{y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $4 \sqrt[3]{y} = x$ um.

$4 \sqrt[3]{y} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $4 \sqrt[3]{y} = x$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 \sqrt[3]{y} = x$ durch $4$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{y}}{4} = \frac{x}{4}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \sqrt[3]{y}}{4} = \frac{x}{4}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $\sqrt[3]{y}$ durch $1$ .

$\sqrt[3]{y} = \frac{x}{4}$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{y}$ als $y^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$y = {(\frac{x}{4})}^{3}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(\frac{x}{4})}^{3}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{4}$ an.

$y = \frac{x^{3}}{4^{3}}$

Schritt 3.4.3.1.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$y = \frac{x^{3}}{64}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 4 \sqrt[3]{x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{{(4 \sqrt[3]{x})}^{3}}{64}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt[3]{x}$ an.

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{4^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}{64}$

Schritt 5.2.3.2

Potenziere $4$ mit $3$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 {\sqrt[3]{x}}^{3}}{64}$

Schritt 5.2.3.3

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 5.2.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}{64}$

Schritt 5.2.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{64}$

Schritt 5.2.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x^{\frac{3}{3}}}{64}$

Schritt 5.2.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x^{\frac{3}{3}}}{64}$

Schritt 5.2.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x}{64}$

Schritt 5.2.3.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x}{64}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $64$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = \frac{64 x}{64}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (4 \sqrt[3]{x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{3}}{64})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{64}}$

Schritt 5.3.3

Entferne die Klammern.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{64}}$

Schritt 5.3.4

Schreibe $64$ als $4^{3}$ um.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4^{3}}}$

Schritt 5.3.5

Schreibe $\frac{x^{3}}{4^{3}}$ als ${(\frac{x}{4})}^{3}$ um.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 \sqrt[3]{{(\frac{x}{4})}^{3}}$

Schritt 5.3.6

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4})$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = 4 (\frac{x}{4})$

Schritt 5.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{64}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 4 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{64}$