Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}$ als Gleichung.

$y = \frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y^{\frac{1}{5}}}{8}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y^{\frac{1}{5}}}{8} = x$ um.

$\frac{y^{\frac{1}{5}}}{8} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $8$ .

$8 \frac{y^{\frac{1}{5}}}{8} = 8 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 \frac{y^{\frac{1}{5}}}{8} = 8 x$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{5}} = 8 x$

Schritt 3.4

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $5$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(8 x)}^{5}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(8 x)}^{5}$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(8 x)}^{5}$

Schritt 3.5.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(8 x)}^{5}$

Schritt 3.5.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(8 x)}^{5}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache ${(8 x)}^{5}$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $8 x$ an.

$y = 8^{5} x^{5}$

Schritt 3.5.2.1.2

Potenziere $8$ mit $5$ .

$y = 32768 x^{5}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 32768 x^{5}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 32768 x^{5}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}) = 32768 {(\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8})}^{5}$

Schritt 5.2.3

Wende die Produktregel auf $\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}$ an.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}) = 32768 (\frac{{(x^{\frac{1}{5}})}^{5}}{8^{5}})$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}) = 32768 (\frac{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{8^{5}})$

Schritt 5.2.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}) = 32768 (\frac{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{8^{5}})$

Schritt 5.2.4.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}) = 32768 (\frac{x}{8^{5}})$

Schritt 5.2.4.2

Vereinfache.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}) = 32768 (\frac{x}{8^{5}})$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.5.1

Potenziere $8$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}) = 32768 (\frac{x}{32768})$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $32768$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}) = 32768 (\frac{x}{32768})$

Schritt 5.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (32768 x^{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (32768 x^{5}) = \frac{{(32768 x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{8}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Wende die Produktregel auf $32768 x^{5}$ an.

$f (32768 x^{5}) = \frac{32768^{\frac{1}{5}} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{8}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $32768$ als $8^{5}$ um.

$f (32768 x^{5}) = \frac{{(8^{5})}^{\frac{1}{5}} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{8}$

Schritt 5.3.3.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (32768 x^{5}) = \frac{8^{5 (\frac{1}{5})} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{8}$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (32768 x^{5}) = \frac{8^{5 (\frac{1}{5})} {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{8}$

Schritt 5.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (32768 x^{5}) = \frac{8 {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{8}$

Schritt 5.3.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (32768 x^{5}) = \frac{8 {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}}{8}$

Schritt 5.3.3.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$ .

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Schritt 5.3.3.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (32768 x^{5}) = \frac{8 x^{5 (\frac{1}{5})}}{8}$

Schritt 5.3.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (32768 x^{5}) = \frac{8 x^{5 (\frac{1}{5})}}{8}$

Schritt 5.3.3.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (32768 x^{5}) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 5.3.3.7

Vereinfache.

$f (32768 x^{5}) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (32768 x^{5}) = \frac{8 x}{8}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (32768 x^{5}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 32768 x^{5}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x^{\frac{1}{5}}}{8}$ .

$f^{- 1} (x) = 32768 x^{5}$