Elementarmathematik Beispiele

$f_{(x)} = \frac{- x^{2} - 3 x + 4}{2 x + 1}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{- x^{2} - 3 x + 4}{2 x + 1}$ nicht definiert ist.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 5.1.1.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{- x^{2} - 3 (x) + 4}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.1.1.2

Schreibe $- 3$ um als $1$ plus $- 4$

$\frac{- x^{2} + (1 - 4) x + 4}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x^{2} + 1 x - 4 x + 4}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- x^{2} + x - 4 x + 4}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.1.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- x^{2} + x) - 4 x + 4}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- x + 1) + 4 (- x + 1)}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 1$ .

$\frac{(- x + 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{(- (x) + 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x + 4)}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{- (x - 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.5.1

Schreibe $- (x - 1)$ als $- 1 (x - 1)$ um.

$\frac{- 1 (x - 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Schritt 5.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(x - 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Schritt 5.2

Multipliziere $- (x - 1) (x + 4)$ aus.

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Schritt 5.2.1

Kehre das Vorzeichen von $x - 1$ um.

$\frac{- (x - 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(- x + 1) (x + 4)}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x (x + 4) + 1 (x + 4)}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 4 + 1 (x + 4)}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 4 + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.6

Bewege $x$ .

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (4 x) + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.7

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (4 x) + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (4 x) + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.9

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (4 x) + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (4 x) + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.11

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (4 x) + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x + 1 x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.14

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot 4}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.16

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x + x + 4}{2 x + 1}$

Schritt 5.2.17

Addiere $- 4 x$ und $x$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 4}{2 x + 1}$

Schritt 5.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$3 x$

$4$

Schritt 5.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				-	$\frac{x}{2}$
	$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$

Schritt 5.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$\frac{x}{2}$

Schritt 5.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x^{2} - \frac{x}{2}$

			-	$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$

Schritt 5.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$

Schritt 5.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

			-	$\frac{x}{2}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	+	$4$

Schritt 5.9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- \frac{5 x}{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

			-	$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	+	$4$

Schritt 5.10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	+	$4$
					-	$\frac{5 x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$

Schritt 5.11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- \frac{5 x}{2} - \frac{5}{4}$

			-	$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	+	$4$
					+	$\frac{5 x}{2}$	+	$\frac{5}{4}$

Schritt 5.12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$\frac{x}{2}$	-	$\frac{5}{4}$
$2 x$	+	$1$	-	$x^{2}$	-	$3 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$\frac{x}{2}$
					-	$\frac{5 x}{2}$	+	$4$
					+	$\frac{5 x}{2}$	+	$\frac{5}{4}$
							+	$\frac{21}{4}$

Schritt 5.13

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- \frac{x}{2} - \frac{5}{4} + \frac{21}{4 (2 x + 1)}$

Schritt 5.14

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = - \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - \frac{1}{2}$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = - \frac{x}{2} - \frac{5}{4}$

Schritt 7