Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{2 x^{2} - 3 x - 20}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{2 x^{2} - 3 x - 20}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x^{2} - 3 x - 20 \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 x^{2} - 3 x - 20 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 20 = - 40$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$2 x^{2} - 3 x - 20 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $- 3$ um als $5$ plus $- 8$

$2 x^{2} + (5 - 8) x - 20 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} + 5 x - 8 x - 20 = 0$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} + 5 x) - 8 x - 20 = 0$

Schritt 2.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x + 5) - 4 (2 x + 5) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 5$ .

$(2 x + 5) (x - 4) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 2.4

Setze $2 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $2 x + 5$ gleich $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 5$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 2.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 5) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{5}{2}, 4$

Schritt 2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < 4$

$x > 4$

Schritt 2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(- 5)}^{2} - 3 \cdot - 5 - 20 \geq 0$

Schritt 2.8.1.3

Die linke Seite $45$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{5}{2} < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{5}{2} < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 20 \geq 0$

Schritt 2.8.2.3

Die linke Seite $- 20$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$2 {(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 20 \geq 0$

Schritt 2.8.3.3

Die linke Seite $34$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{5}{2}$ Wahr

$- \frac{5}{2} < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

$x < - \frac{5}{2}$ Wahr

$- \frac{5}{2} < x < 4$ Falsch

$x > 4$ Wahr

Schritt 2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - \frac{5}{2}$ oder $x \geq 4$

Schritt 3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - \frac{5}{2}] \cup [4, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - \frac{5}{2}, x \geq 4}$

Schritt 4