Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1 - 2 x}{x + 3} + \sqrt{5 - 4 x - x^{2}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{5 - 4 x - x^{2}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$5 - 4 x - x^{2} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$5 - 4 x - x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $5 - 4 x - x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.2.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 2.2.1.1.1

Bewege $5$ .

$- 4 x - x^{2} + 5 = 0$

Schritt 2.2.1.1.2

Stelle $- 4 x$ und $- x^{2}$ um.

$- x^{2} - 4 x + 5 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$- (x^{2}) - 4 x + 5 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$- (x^{2}) - (4 x) + 5 = 0$

Schritt 2.2.1.4

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$- (x^{2}) - (4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - (4 x)$ heraus.

$- (x^{2} + 4 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Schritt 2.2.1.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2} + 4 x) - 1 (- 5)$ heraus.

$- (x^{2} + 4 x - 5) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 4 x - 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 5$ und deren Summe $4$ ist.

$- 1, 5$

Schritt 2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((x - 1) (x + 5)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x - 1) (x + 5) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.5

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x - 1) (x + 5) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - 5$

Schritt 2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 1$

$x > 1$

Schritt 2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 - 4 \cdot - 8 - {(- 8)}^{2} \geq 0$

Schritt 2.8.1.3

Die linke Seite $- 27$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 - 4 \cdot 0 - {(0)}^{2} \geq 0$

Schritt 2.8.2.3

Die linke Seite $5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$5 - 4 \cdot 4 - {(4)}^{2} \geq 0$

Schritt 2.8.3.3

Die linke Seite $- 27$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 1$ Wahr

$x > 1$ Falsch

Schritt 2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 5 \leq x \leq 1$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{1 - 2 x}{x + 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 3 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 5, - 3) \cup (- 3, 1]$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 5 \leq x \leq 1, x \neq - 3}$

Schritt 6