Elementarmathematik Beispiele

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - {(x - 5)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Schreibe ${(x - 5)}^{2}$ als $(x - 5) (x - 5)$ um.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - ((x - 5) (x - 5))$

Schritt 1.1.1.2

Multipliziere $(x - 5) (x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x (x - 5) - 5 (x - 5))$

Schritt 1.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5))$

Schritt 1.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Schritt 1.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Schritt 1.1.1.3.1.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5)$

Schritt 1.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 5 x - 5 x + 25)$

Schritt 1.1.1.3.2

Subtrahiere $5 x$ von $- 5 x$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - (x^{2} - 10 x + 25)$

Schritt 1.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} - (- 10 x) - 1 \cdot 25$

Schritt 1.1.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.5.1

Mutltipliziere $- 10$ mit $- 1$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 1 \cdot 25$

Schritt 1.1.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$y = 3 {(x - 2)}^{2} - x^{2} + 10 x - 25$

Schritt 1.1.2

Stelle die Terme um.

$y = - x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- x^{2} + 3 {(x - 2)}^{2} + 10 x - 25$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$- x^{2} + 3 ((x - 2) (x - 2)) + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$- x^{2} + 3 (x^{2} - 4 x + 4) + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- x^{2} + 3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4 + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$- x^{2} + 3 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $- x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} - 12 x + 12 + 10 x - 25$

Schritt 1.2.1.3

Addiere $- 12 x$ und $10 x$ .

$2 x^{2} - 2 x + 12 - 25$

Schritt 1.2.1.4

Subtrahiere $25$ von $12$ .

$2 x^{2} - 2 x - 13$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 2$

$b = - 2$

$c = - 13$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (2)}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 13 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 2)}^{2}$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$e = - 13 - \frac{{(- 1 (2))}^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (2)$ an.

$e = - 13 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = - 13 - \frac{1 \cdot 2^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.4

Mutltipliziere $2^{2}$ mit $1$ .

$e = - 13 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2^{2}$ heraus.

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 \cdot 2$ heraus.

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - 13 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 \cdot 2)}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - 13 - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e = - 13 - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.5.2.2

Um $- 13$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e = - 13 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.5.2.3

Kombiniere $- 13$ und $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 13 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 13 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.5.1

Mutltipliziere $- 13$ mit $2$ .

$e = \frac{- 26 - 1}{2}$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Subtrahiere $1$ von $- 26$ .

$e = \frac{- 27}{2}$

Schritt 1.2.5.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{27}{2}$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$ ein.

$2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 2 {(x - \frac{1}{2})}^{2} - \frac{27}{2}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 2$

$h = \frac{1}{2}$

$k = - \frac{27}{2}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{27}{2})$

Schritt 4