Elementarmathematik Beispiele

$\log_{4} (x^{- 1} - 2) = 1$

Schritt 1

Setze das Argument in $\log_{4} (x^{- 1} - 2)$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x^{- 1} - 2 > 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x} - 2 > 0$

Schritt 2.2

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{1}{x} > 2$

Schritt 2.3

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{1}{x} x = 2 x$

Schritt 2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x} x = 2 x$

Schritt 2.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = 2 x$

Schritt 2.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $2 x = 1$ um.

$2 x = 1$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.6

Bestimme den Definitionsbereich von $x^{- 1} - 2$ .

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Schritt 2.6.1

Setze die Basis in $x^{- 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 2.6.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 2.7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Schritt 2.8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 2.8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 2)}^{- 1} - 2 > 0$

Schritt 2.8.1.3

Die linke Seite $- 2.5$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.8.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.25$

Schritt 2.8.2.2

Ersetze $x$ durch $0.25$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0.25)}^{- 1} - 2 > 0$

Schritt 2.8.2.3

Die linke Seite $2$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 2.8.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(3)}^{- 1} - 2 > 0$

Schritt 2.8.3.3

Die linke Seite $- 1.\overline{6}$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{2}$ Wahr

$x > \frac{1}{2}$ Falsch

$x < 0$ Falsch

$0 < x < \frac{1}{2}$ Wahr

$x > \frac{1}{2}$ Falsch

Schritt 2.9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 < x < \frac{1}{2}$

Schritt 3

Setze die Basis in $x^{- 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(0, \frac{1}{2})$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | 0 < x < \frac{1}{2}}$

Schritt 5