Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} - x^{5} + x$

Schritt 1

Ermittle $f (- x)$ .

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Schritt 1.1

Ermittle $f (- x)$ durch Einsetzen von $- x$ in $f (x)$ für jedes $x$ .

$f (- x) = 2 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{5} - x$

Schritt 1.2

Entferne die Klammern.

$f (- x) = 2 {(- x)}^{3} - {(- x)}^{5} - x$

Schritt 1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = 2 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - {(- x)}^{5} - x$

Schritt 1.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- x) = 2 (- x^{3}) - {(- x)}^{5} - x$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- x) = - 2 x^{3} - {(- x)}^{5} - x$

Schritt 1.3.4

Wende die Produktregel auf $- x$ an.

$f (- x) = - 2 x^{3} - ({(- 1)}^{5} x^{5}) - x$

Schritt 1.3.5

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.5.1

Bewege ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- x) = - 2 x^{3} + {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 x^{5}) - x$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{5}$ mit $- 1$ .

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Schritt 1.3.5.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- x) = - 2 x^{3} + {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) x^{5}) - x$

Schritt 1.3.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- x) = - 2 x^{3} + {(- 1)}^{5 + 1} x^{5} - x$

Schritt 1.3.5.3

Addiere $5$ und $1$ .

$f (- x) = - 2 x^{3} + {(- 1)}^{6} x^{5} - x$

Schritt 1.3.6

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$f (- x) = - 2 x^{3} + 1 x^{5} - x$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $1$ .

$f (- x) = - 2 x^{3} + x^{5} - x$

Schritt 2

Eine Funktion ist gerade, wenn $f (- x) = f (x)$ .

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Schritt 2.1

Prüfe, ob $f (- x) = f (x)$ .

Schritt 2.2

Da $- 2 x^{3} + x^{5} - x$ $\neq$ $2 x^{3} - x^{5} + x$ , ist die Funktion nicht gerade.

Die Funktion ist nicht gerade

Schritt 3

Eine Funktion ist ungerade, wenn $f (- x) = - f (x)$ .

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Schritt 3.1

Ermittle $- f (x)$ .

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $2 x^{3} - x^{5} + x$ mit $- 1$ .

$- f (x) = - (2 x^{3} - x^{5} + x)$

Schritt 3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- f (x) = - (2 x^{3}) + x^{5} - x$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- f (x) = - 2 x^{3} + x^{5} - x$

Schritt 3.1.3.2

Multipliziere $- - x^{5}$ .

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Schritt 3.1.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- f (x) = - 2 x^{3} + 1 x^{5} - x$

Schritt 3.1.3.2.2

Mutltipliziere $x^{5}$ mit $1$ .

$- f (x) = - 2 x^{3} + x^{5} - x$

Schritt 3.2

Da $- 2 x^{3} + x^{5} - x = - 2 x^{3} + x^{5} - x$ , ist die Funktion ungerade.

Die Funktion ist ungerade

Schritt 4