Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{x} + 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{x} + 7$ als Gleichung.

$y = \sqrt{x} + 7$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{y} + 7$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{y} + 7 = x$ um.

$\sqrt{y} + 7 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{y} = x - 7$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - 7)}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 7)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 7)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 7)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(x - 7)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$y = {(x - 7)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x - 7)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 7)}^{2}$ als $(x - 7) (x - 7)$ um.

$y = (x - 7) (x - 7)$

Schritt 3.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 7) (x - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x (x - 7) - 7 (x - 7)$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 (x - 7)$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7$

Schritt 3.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = x^{2} + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7$

Schritt 3.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = x^{2} - 7 \cdot x - 7 x - 7 \cdot - 7$

Schritt 3.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$y = x^{2} - 7 x - 7 x + 49$

Schritt 3.4.3.1.3.2

Subtrahiere $7 x$ von $- 7 x$ .

$y = x^{2} - 14 x + 49$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 14 x + 49$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2} - 14 x + 49$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{x} + 7$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{x} + 7)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = {(\sqrt{x} + 7)}^{2} - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe ${(\sqrt{x} + 7)}^{2}$ als $(\sqrt{x} + 7) (\sqrt{x} + 7)$ um.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = (\sqrt{x} + 7) (\sqrt{x} + 7) - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere $(\sqrt{x} + 7) (\sqrt{x} + 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = \sqrt{x} (\sqrt{x} + 7) + 7 (\sqrt{x} + 7) - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Schritt 5.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 (\sqrt{x} + 7) - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Schritt 5.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Multipliziere $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

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Schritt 5.2.3.3.1.1.1

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = \sqrt{x} \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = {\sqrt{x}}^{1 + 1} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = {\sqrt{x}}^{2} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 5.2.3.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x^{\frac{2}{2}} + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3.1.2.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + \sqrt{x} \cdot 7 + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3.1.3

Bringe $7$ auf die linke Seite von $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + 7 \cdot \sqrt{x} + 7 \sqrt{x} + 7 \cdot 7 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + 7 \sqrt{x} + 7 \sqrt{x} + 49 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3.2

Addiere $7 \sqrt{x}$ und $7 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + 14 \sqrt{x} + 49 - 14 (\sqrt{x} + 7) + 49$

Schritt 5.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + 14 \sqrt{x} + 49 - 14 \sqrt{x} - 14 \cdot 7 + 49$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $- 14$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + 14 \sqrt{x} + 49 - 14 \sqrt{x} - 98 + 49$

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 14 \sqrt{x} + 49 - 14 \sqrt{x} - 98 + 49$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Subtrahiere $14 \sqrt{x}$ von $14 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + 0 + 49 - 98 + 49$

Schritt 5.2.4.1.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + 49 - 98 + 49$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $98$ von $49$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x - 49 + 49$

Schritt 5.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 49 + 49$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Addiere $- 49$ und $49$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x + 0$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{x} + 7) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x^{2} - 14 x + 49)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 14 x + 49) = \sqrt{x^{2} - 14 x + 49} + 7$

Schritt 5.3.3

Entferne die Klammern.

$f (x^{2} - 14 x + 49) = \sqrt{x^{2} - 14 x + 49} + 7$

Schritt 5.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.4.1.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$f (x^{2} - 14 x + 49) = \sqrt{x^{2} - 14 x + 7^{2}} + 7$

Schritt 5.3.4.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Schritt 5.3.4.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (x^{2} - 14 x + 49) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}} + 7$

Schritt 5.3.4.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 7$ .

$f (x^{2} - 14 x + 49) = \sqrt{{(x - 7)}^{2}} + 7$

Schritt 5.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (x^{2} - 14 x + 49) = x - 7 + 7$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 7 + 7$ .

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Schritt 5.3.5.1

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f (x^{2} - 14 x + 49) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (x^{2} - 14 x + 49) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{2} - 14 x + 49$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{x} + 7$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 14 x + 49$