Elementarmathematik Beispiele

$y^{2} + 4 x - 14 y = - 53$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x - 14 y = - 53 - y^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Addiere $14 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = - 53 - y^{2} + 14 y$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 53 - y^{2} + 14 y$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = - 53 - y^{2} + 14 y$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 53}{4} + \frac{- y^{2}}{4} + \frac{14 y}{4}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 53}{4} + \frac{- y^{2}}{4} + \frac{14 y}{4}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 53}{4} + \frac{- y^{2}}{4} + \frac{14 y}{4}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{53}{4} + \frac{- y^{2}}{4} + \frac{14 y}{4}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{53}{4} - \frac{y^{2}}{4} + \frac{14 y}{4}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $14$ und $4$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $14 y$ heraus.

$x = - \frac{53}{4} - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (7 y)}{4}$

Schritt 1.1.2.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = - \frac{53}{4} - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (7 y)}{2 (2)}$

Schritt 1.1.2.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{53}{4} - \frac{y^{2}}{4} + \frac{2 (7 y)}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.2.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{53}{4} - \frac{y^{2}}{4} + \frac{7 y}{2}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{53}{4} - \frac{y^{2}}{4} + \frac{7 y}{2}$ an.

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Schritt 1.2.1

Bewege $- \frac{53}{4}$ .

$- \frac{y^{2}}{4} + \frac{7 y}{2} - \frac{53}{4}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$b = \frac{7}{2}$

$c = - \frac{53}{4}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{7}{2}}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$d = \frac{7}{2} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = \frac{7}{2} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{4})})$

Schritt 1.2.4.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{7}{2} (- \frac{1}{\frac{2}{4}})$

Schritt 1.2.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.2.4.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{7}{2} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}})$

Schritt 1.2.4.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{7}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Schritt 1.2.4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{7}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Schritt 1.2.4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{7}{2} (- \frac{1}{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2.4.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{7}{2} (- (1 \cdot 2))$

Schritt 1.2.4.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- (1 \cdot 2)$ heraus.

$d = \frac{7}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Schritt 1.2.4.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{7}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Schritt 1.2.4.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$d = 7 (- 1 \cdot (1))$

Schritt 1.2.4.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$d = 7 \cdot - 1$

Schritt 1.2.4.2.8

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$d = - 7$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{53}{4} - \frac{{(\frac{7}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$e = - \frac{53}{4} - \frac{\frac{7^{2}}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Potenziere $7$ mit $2$ .

$e = - \frac{53}{4} - \frac{\frac{49}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = - \frac{53}{4} - \frac{\frac{49}{4}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - \frac{53}{4} - \frac{\frac{49}{4}}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{53}{4} - \frac{\frac{49}{4}}{\frac{- 4}{4}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$e = - \frac{53}{4} - \frac{\frac{49}{4}}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{49}{4}}{- 1}$ .

$e = - \frac{53}{4} - (- 1 \cdot \frac{49}{4})$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Schreibe $- 1 \cdot \frac{49}{4}$ als $- \frac{49}{4}$ um.

$e = - \frac{53}{4} - - \frac{49}{4}$

Schritt 1.2.5.2.1.6

Multipliziere $- - \frac{49}{4}$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - \frac{53}{4} + 1 (\frac{49}{4})$

Schritt 1.2.5.2.1.6.2

Mutltipliziere $\frac{49}{4}$ mit $1$ .

$e = - \frac{53}{4} + \frac{49}{4}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 53 + 49}{4}$

Schritt 1.2.5.2.3

Addiere $- 53$ und $49$ .

$e = \frac{- 4}{4}$

Schritt 1.2.5.2.4

Dividiere $- 4$ durch $4$ .

$e = - 1$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{4} {(y - 7)}^{2} - 1$ ein.

$- \frac{1}{4} {(y - 7)}^{2} - 1$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y - 7)}^{2} - 1$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{4}$

$h = - 1$

$k = 7$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 1, 7)$

Schritt 4