Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 x - 4$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 x - 4$ als Gleichung.

$y = 2 x - 4$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2 y - 4$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 y - 4 = x$ um.

$2 y - 4 = x$

Schritt 3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = x + 4$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y = x + 4$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = x + 4$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $4$ durch $2$ .

$y = \frac{x}{2} + 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 x - 4$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 x - 4)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{2 x - 4}{2} + 2$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 x - 4$ und $2$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{2 (x) - 4}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{2 (x) + 2 \cdot - 2}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 2)$ heraus.

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{2 (x - 2)}{2} + 2$

Schritt 5.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{2 (x - 2)}{2 (1)} + 2$

Schritt 5.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{2 (x - 2)}{2 \cdot 1} + 2$

Schritt 5.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (2 x - 4) = \frac{x - 2}{1} + 2$

Schritt 5.2.3.4.4

Dividiere $x - 2$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = x - 2 + 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 x - 4) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{2} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{2} + 2) = 2 (\frac{x}{2} + 2) - 4$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{2} + 2) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 2 - 4$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{2} + 2) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 \cdot 2 - 4$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{2} + 2) = x + 2 \cdot 2 - 4$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{x}{2} + 2) = x + 4 - 4$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 4 - 4$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (\frac{x}{2} + 2) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x}{2} + 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 x - 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + 2$