Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ als Gleichung.

$y = x^{\frac{1}{2}} - 7$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = y^{\frac{1}{2}} - 7$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $y^{\frac{1}{2}} - 7 = x$ um.

$y^{\frac{1}{2}} - 7 = x$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{\frac{1}{2}} - x = 7$

Schritt 3.2.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{\frac{1}{2}} = 7 + x$

Schritt 3.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(7 + x)}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + x)}^{2}$

Schritt 3.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(7 + x)}^{2}$

Schritt 3.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(7 + x)}^{2}$

Schritt 3.4.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(7 + x)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(7 + x)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Schreibe ${(7 + x)}^{2}$ als $(7 + x) (7 + x)$ um.

$y = (7 + x) (7 + x)$

Schritt 3.4.2.1.2

Multipliziere $(7 + x) (7 + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 7 (7 + x) + x (7 + x)$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 7 \cdot 7 + 7 x + x (7 + x)$

Schritt 3.4.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = 7 \cdot 7 + 7 x + x \cdot 7 + x \cdot x$

Schritt 3.4.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$y = 49 + 7 x + x \cdot 7 + x \cdot x$

Schritt 3.4.2.1.3.1.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = 49 + 7 x + 7 \cdot x + x \cdot x$

Schritt 3.4.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = 49 + 7 x + 7 x + x^{2}$

Schritt 3.4.2.1.3.2

Addiere $7 x$ und $7 x$ .

$y = 49 + 14 x + x^{2}$

Schritt 3.5

Vereinfache $49 + 14 x + x^{2}$ .

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Schritt 3.5.1

Bewege $49$ .

$y = 14 x + x^{2} + 49$

Schritt 3.5.2

Stelle $14 x$ und $x^{2}$ um.

$y = x^{2} + 14 x + 49$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$ die Umkehrfunktion von $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = {(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{2} + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe ${(x^{\frac{1}{2}} - 7)}^{2}$ als $(x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ um.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = (x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere $(x^{\frac{1}{2}} - 7) (x^{\frac{1}{2}} - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} - 7) - 7 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Schritt 5.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Schritt 5.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.3.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3.1.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3.1.1.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Vereinfache $x^{1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 7 - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3.1.3

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 7 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 \cdot - 7 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 7 x^{\frac{1}{2}} - 7 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Schritt 5.2.3.3.2

Subtrahiere $7 x^{\frac{1}{2}}$ von $- 7 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 (x^{\frac{1}{2}} - 7) + 49$

Schritt 5.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} + 14 \cdot - 7 + 49$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $14$ mit $- 7$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} - 98 + 49$

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 14 x^{\frac{1}{2}} + 49 + 14 x^{\frac{1}{2}} - 98 + 49$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Addiere $- 14 x^{\frac{1}{2}}$ und $14 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 0 + 49 - 98 + 49$

Schritt 5.2.4.1.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 49 - 98 + 49$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $98$ von $49$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x - 49 + 49$

Schritt 5.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 49 + 49$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Addiere $- 49$ und $49$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x + 0$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{2}} - 7) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x^{2} + 14 x + 49)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 14 x + 49)}^{\frac{1}{2}} - 7$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.3.1.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 14 x + 7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

Schritt 5.3.3.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Schritt 5.3.3.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x^{2} + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

Schritt 5.3.3.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 7$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {({(x + 7)}^{2})}^{\frac{1}{2}} - 7$

Schritt 5.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x + 7)}^{2 (\frac{1}{2})} - 7$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = {(x + 7)}^{2 (\frac{1}{2})} - 7$

Schritt 5.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = (x + 7) - 7$

Schritt 5.3.3.4

Vereinfache.

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x + 7 - 7$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 7 - 7$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $7$ von $7$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (x^{2} + 14 x + 49) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} + 14 x + 49$