Elementarmathematik Beispiele

$r (x) = \frac{x^{2}}{x - 2}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{x^{2}}{x - 2}$ nicht definiert ist.

$x = 2$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Schritt 5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x$
	$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Schritt 5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$

Schritt 5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} - 2 x$

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$

Schritt 5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$

Schritt 5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$0$

Schritt 5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$0$

Schritt 5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$0$
					+	$2 x$	-	$4$

Schritt 5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x - 4$

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$0$
					-	$2 x$	+	$4$

Schritt 5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$	+	$2$
$x$	-	$2$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$
					+	$2 x$	+	$0$
					-	$2 x$	+	$4$
							+	$4$

Schritt 5.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$x + 2 + \frac{4}{x - 2}$

Schritt 5.12

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = x + 2$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = 2$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = x + 2$

Schritt 7