Elementarmathematik Beispiele

$y = \frac{4 x^{2} + 12 x}{x + 7}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{4 x^{2} + 12 x}{x + 7}$ nicht definiert ist.

$x = - 7$

Schritt 2

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 3

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 4

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 5

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{2} + 12 x$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 x (x) + 12 x}{x + 7}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $4 x$ aus $12 x$ heraus.

$\frac{4 x (x) + 4 x (3)}{x + 7}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x) + 4 x (3)$ heraus.

$\frac{4 x (x + 3)}{x + 7}$

Schritt 5.2

Multipliziere $4 x (x + 3)$ aus.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot 3}{x + 7}$

Schritt 5.2.2

Bewege $x$ .

$\frac{4 x \cdot x + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Schritt 5.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Schritt 5.2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Schritt 5.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{1 + 1} + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Schritt 5.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 4 \cdot (3 x)}{x + 7}$

Schritt 5.2.7

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$\frac{4 x^{2} + 12 x}{x + 7}$

Schritt 5.3

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$7$

$4 x^{2}$

$12 x$

$0$

Schritt 5.4

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$4 x$
	$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$

Schritt 5.5

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			+	$4 x^{2}$	+	$28 x$

Schritt 5.6

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{2} + 28 x$

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$

Schritt 5.7

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$

Schritt 5.8

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$

Schritt 5.9

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 16 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$

Schritt 5.10

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$
					-	$16 x$	-	$112$

Schritt 5.11

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 16 x - 112$

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$
					+	$16 x$	+	$112$

Schritt 5.12

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x$	-	$16$
$x$	+	$7$		$4 x^{2}$	+	$12 x$	+	$0$
			-	$4 x^{2}$	-	$28 x$
					-	$16 x$	+	$0$
					+	$16 x$	+	$112$
							+	$112$

Schritt 5.13

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$4 x - 16 + \frac{112}{x + 7}$

Schritt 5.14

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = 4 x - 16$

Schritt 6

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Vertikale Asymptoten: $x = - 7$

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = 4 x - 16$

Schritt 7