Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{\frac{(x - 6) (x - 4)}{x + 4}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{(x - 6) (x - 4)}{x + 4}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{(x - 6) (x - 4)}{x + 4} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 6 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 2.3

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.4

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 6$

$x = 4$

$x = - 4$

Schritt 2.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 6, 4, - 4$

Schritt 2.7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{(x - 6) (x - 4)}{x + 4}$ .

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Schritt 2.7.1

Setze den Nenner in $\frac{(x - 6) (x - 4)}{x + 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 4 = 0$

Schritt 2.7.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 2.7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Schritt 2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$4 < x < 6$

$x > 6$

Schritt 2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((- 6) - 6) ((- 6) - 4)}{(- 6) + 4} \geq 0$

Schritt 2.9.1.3

Die linke Seite $- 60$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 4 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 4 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((0) - 6) ((0) - 4)}{(0) + 4} \geq 0$

Schritt 2.9.2.3

Die linke Seite $6$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $4 < x < 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $4 < x < 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((5) - 6) ((5) - 4)}{(5) + 4} \geq 0$

Schritt 2.9.3.3

Die linke Seite $- 0.\overline{1}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.9.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 8$

Schritt 2.9.4.2

Ersetze $x$ durch $8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{((8) - 6) ((8) - 4)}{(8) + 4} \geq 0$

Schritt 2.9.4.3

Die linke Seite $0.\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.9.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 4$ Wahr

$4 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

$x < - 4$ Falsch

$- 4 < x < 4$ Wahr

$4 < x < 6$ Falsch

$x > 6$ Wahr

Schritt 2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 4 < x \leq 4$ oder $x \geq 6$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{(x - 6) (x - 4)}{x + 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x + 4 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- 4, 4] \cup [6, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 4 < x \leq 4, x \geq 6}$

Schritt 6