Elementarmathematik Beispiele

$4 + 9 + 14 + \dots + 64$

Schritt 1

Dies ist eine arithmetische Folge, da es zwischen je zwei aufeinanderfolgenden Termen die gleiche Differenz gibt. In diesem Fall ergibt die Addition von $5$ zum vorhergehenden Term in der Folge den nächsten Term. Mit anderen Worten: $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ .

Arithmetische Folge: $d = 5$

Schritt 2

Verwende die Formel für eine arithmetische Folge $a_{n} = a_{1} + d (n - 1)$ , um die Anzahl der Terme zu finden, $n$ .

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Schritt 2.1

Ersetze die Werte des ersten Terms, des letzten Terms und der Differenz zwischen den Termen in der Formel.

$64 = 4 + 5 (n - 1)$

Schritt 2.2

Löse nach $n$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $4 + 5 (n - 1) = 64$ um.

$4 + 5 (n - 1) = 64$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $4 + 5 (n - 1)$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 + 5 n + 5 \cdot - 1 = 64$

Schritt 2.2.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$4 + 5 n - 5 = 64$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $5$ von $4$ .

$5 n - 1 = 64$

Schritt 2.2.3

Bringe alle Terme, die nicht $n$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 n = 64 + 1$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $64$ und $1$ .

$5 n = 65$

Schritt 2.2.4

Teile jeden Ausdruck in $5 n = 65$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $5 n = 65$ durch $5$ .

$\frac{5 n}{5} = \frac{65}{5}$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 n}{5} = \frac{65}{5}$

Schritt 2.2.4.2.1.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{65}{5}$

Schritt 2.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.4.3.1

Dividiere $65$ durch $5$ .

$n = 13$

Schritt 3

Verwende die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge $S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n})$ , um die Summe zu finden.

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Schritt 3.1

Ersetze die Werte des ersten Terms, des letzten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$S_{n} = \frac{13}{2} (4 + 64)$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Addiere $4$ und $64$ .

$S_{n} = \frac{13}{2} \cdot 68$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $68$ heraus.

$S_{n} = \frac{13}{2} \cdot (2 (34))$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{n} = \frac{13}{2} \cdot (2 \cdot 34)$

Schritt 3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{n} = 13 \cdot 34$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $13$ mit $34$ .

$S_{n} = 442$