Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{\frac{1}{4}} - 3$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = x^{\frac{1}{4}} - 3$ als Gleichung.

$y = x^{\frac{1}{4}} - 3$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = y^{\frac{1}{4}} - 3$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $y^{\frac{1}{4}} - 3 = x$ um.

$y^{\frac{1}{4}} - 3 = x$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{\frac{1}{4}} - x = 3$

Schritt 3.2.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{\frac{1}{4}} = 3 + x$

Schritt 3.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $4$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(3 + x)}^{4}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 3.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(3 + x)}^{4}$

Schritt 3.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(3 + x)}^{4}$

Schritt 3.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(3 + x)}^{4}$

Schritt 3.4.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(3 + x)}^{4}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(3 + x)}^{4}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = 3^{4} + 4 \cdot 3^{3} x + 6 \cdot 3^{2} x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.2.1

Potenziere $3$ mit $4$ .

$y = 81 + 4 \cdot 3^{3} x + 6 \cdot 3^{2} x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

Schritt 3.4.2.1.2.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$y = 81 + 4 \cdot 27 x + 6 \cdot 3^{2} x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

Schritt 3.4.2.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $27$ .

$y = 81 + 108 x + 6 \cdot 3^{2} x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

Schritt 3.4.2.1.2.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = 81 + 108 x + 6 \cdot 9 x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

Schritt 3.4.2.1.2.5

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$y = 81 + 108 x + 54 x^{2} + 4 \cdot 3 x^{3} + x^{4}$

Schritt 3.4.2.1.2.6

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$y = 81 + 108 x + 54 x^{2} + 12 x^{3} + x^{4}$

Schritt 3.5

Vereinfache $81 + 108 x + 54 x^{2} + 12 x^{3} + x^{4}$ .

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Schritt 3.5.1

Bewege $81$ .

$y = 108 x + 54 x^{2} + 12 x^{3} + x^{4} + 81$

Schritt 3.5.2

Bewege $108 x$ .

$y = 54 x^{2} + 12 x^{3} + x^{4} + 108 x + 81$

Schritt 3.5.3

Bewege $54 x^{2}$ .

$y = 12 x^{3} + x^{4} + 54 x^{2} + 108 x + 81$

Schritt 3.5.4

Stelle $12 x^{3}$ und $x^{4}$ um.

$y = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$ die Umkehrfunktion von $f (x) = x^{\frac{1}{4}} - 3$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} + 4 {(x^{\frac{1}{4}})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 4 {(x^{\frac{1}{4}})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.2.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 4 {(x^{\frac{1}{4}})}^{3} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.2

Vereinfache.

Schritt 5.2.3.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.3.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 4 x^{\frac{1}{4} \cdot 3} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 4 x^{\frac{3}{4}} \cdot - 3 + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.3.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{2}} {(- 3)}^{2} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.6

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 6 x^{\frac{1}{2}} \cdot 9 + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.7

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.8

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{\frac{1}{4}} \cdot - 27 + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.9

Mutltipliziere $- 27$ mit $4$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + {(- 3)}^{4} + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.10

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{3} + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 ({(x^{\frac{1}{4}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.4.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{3}$ .

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Schritt 5.2.3.4.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{1}{4} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.1.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.3.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 x^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 x^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} + 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{4}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.4

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{4}} \cdot 9 + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.5

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 27 x^{\frac{1}{4}} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.6

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 (x^{\frac{3}{4}} - 9 x^{\frac{1}{2}} + 27 x^{\frac{1}{4}} - 27) + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} + 12 (- 9 x^{\frac{1}{2}}) + 12 (27 x^{\frac{1}{4}}) + 12 \cdot - 27 + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.6.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $12$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 12 (27 x^{\frac{1}{4}}) + 12 \cdot - 27 + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.6.2

Mutltipliziere $27$ mit $12$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} + 12 \cdot - 27 + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.6.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 27$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 {(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2} + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.7

Schreibe ${(x^{\frac{1}{4}} - 3)}^{2}$ als $(x^{\frac{1}{4}} - 3) (x^{\frac{1}{4}} - 3)$ um.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 ((x^{\frac{1}{4}} - 3) (x^{\frac{1}{4}} - 3)) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.8

Multipliziere $(x^{\frac{1}{4}} - 3) (x^{\frac{1}{4}} - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{4}} (x^{\frac{1}{4}} - 3) - 3 (x^{\frac{1}{4}} - 3)) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 (x^{\frac{1}{4}} - 3)) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{4}} x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.9.1.1

Multipliziere $x^{\frac{1}{4}}$ mit $x^{\frac{1}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.3.9.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1 + 1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.1.1.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{2}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.2.3.9.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{2 (1)}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.1.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.9.1.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.1.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.1.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot x^{\frac{1}{4}} - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 \cdot - 3) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{4}} - 3 x^{\frac{1}{4}} + 9) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.2

Subtrahiere $3 x^{\frac{1}{4}}$ von $- 3 x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{2}} - 6 x^{\frac{1}{4}} + 9) + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.10

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 54 (- 6 x^{\frac{1}{4}}) + 54 \cdot 9 + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.11

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.11.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $54$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 54 \cdot 9 + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.11.2

Mutltipliziere $54$ mit $9$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 (x^{\frac{1}{4}} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.12

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} + 108 \cdot - 3 + 81$

Schritt 5.2.3.13

Mutltipliziere $108$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 12 x^{\frac{3}{4}} + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 12 x^{\frac{3}{4}} - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Addiere $- 12 x^{\frac{3}{4}}$ und $12 x^{\frac{3}{4}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 + 0 - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.1.2

Addiere $x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81$ und $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} + 324 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} - 324 x^{\frac{1}{4}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.1.3

Subtrahiere $324 x^{\frac{1}{4}}$ von $324 x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 0 + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.1.4

Addiere $x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}}$ und $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} - 108 x^{\frac{1}{4}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 + 108 x^{\frac{1}{4}} - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.1.5

Addiere $- 108 x^{\frac{1}{4}}$ und $108 x^{\frac{1}{4}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 + 0 - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.1.6

Addiere $x + 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486$ und $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 108 x^{\frac{1}{2}} - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $108 x^{\frac{1}{2}}$ von $54 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 54 x^{\frac{1}{2}} + 81 - 324 + 54 x^{\frac{1}{2}} + 486 - 324 + 81$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Addiere $- 54 x^{\frac{1}{2}}$ und $54 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 0 + 81 - 324 + 486 - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 81 - 324 + 486 - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.4

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.4.4.1

Subtrahiere $324$ von $81$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 243 + 486 - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.4.2

Addiere $- 243$ und $486$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 243 - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.4.3

Subtrahiere $324$ von $243$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x - 81 + 81$

Schritt 5.2.4.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 81 + 81$ .

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Schritt 5.2.4.5.1

Addiere $- 81$ und $81$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x + 0$

Schritt 5.2.4.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{4}} - 3) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81) = {(x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81)}^{\frac{1}{4}} - 3$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = x^{\frac{1}{4}} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$