Elementarmathematik Beispiele

$81 + 27 + 9 + \dots + \frac{1}{81}$

Schritt 1

Dies ist eine geometrische Folge, da es zwischen aufeinanderfolgenden Termen ein gemeinsames Verhältnis gibt. In diesem Fall ergibt die Multiplikation des vorhergehenden Terms in der Folge mit $\frac{1}{3}$ den nächsten Term. Mit anderen Worten: $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Geometrische Folge: $r = \frac{1}{3}$

Schritt 2

Verwende die Formel für eine geometrische Folge $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ , um die Anzahl der Terme zu finden, $n$ .

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Schritt 2.1

Ersetze die Werte des ersten Terms, des letzten Terms und des Verhältnisses zwischen den Termen in der Formel.

$\frac{1}{81} = 81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$

Schritt 2.2

Löse nach $n$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$ um.

$81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1} = \frac{1}{81}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache $81 {(\frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$81 \frac{1^{n - 1}}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Schritt 2.2.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$81 \frac{1}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Schritt 2.2.2.2

Kombiniere $81$ und $\frac{1}{3^{n - 1}}$ .

$\frac{81}{3^{n - 1}} = \frac{1}{81}$

Schritt 2.2.3

Multipliziere beide Seiten mit $3^{n - 1}$ .

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3^{n - 1}$ .

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Schritt 2.2.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{81}{3^{n - 1}} \cdot 3^{n - 1} = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Schritt 2.2.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$81 = \frac{1}{81} \cdot 3^{n - 1}$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.4.2.1

Kombiniere $\frac{1}{81}$ und $3^{n - 1}$ .

$81 = \frac{3^{n - 1}}{81}$

Schritt 2.2.5

Löse nach $n$ auf.

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Schritt 2.2.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$ um.

$\frac{3^{n - 1}}{81} = 81$

Schritt 2.2.5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $81$ .

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.2.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $81$ .

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Schritt 2.2.5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$81 \frac{3^{n - 1}}{81} = 81 \cdot 81$

Schritt 2.2.5.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3^{n - 1} = 81 \cdot 81$

Schritt 2.2.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.5.3.2.1

Mutltipliziere $81$ mit $81$ .

$3^{n - 1} = 6561$

Schritt 2.2.5.4

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{n - 1} = 3^{8}$

Schritt 2.2.5.5

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$n - 1 = 8$

Schritt 2.2.5.6

Bringe alle Terme, die nicht $n$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.5.6.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$n = 8 + 1$

Schritt 2.2.5.6.2

Addiere $8$ und $1$ .

$n = 9$

Schritt 3

Verwende die Formel für die Summe einer geometrischen Folge $S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$ , um die Summe zu finden.

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Schritt 3.1

Ersetze die Werte des ersten Terms, des Verhältnisses und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$S_{n} = \frac{81 ({(\frac{1}{3})}^{9} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1^{9}}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{3^{9}} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $3$ mit $9$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1)}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{19683}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} - 1 \cdot \frac{19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{19683}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{1}{19683} + \frac{- 1 \cdot 19683}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 1 \cdot 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $19683$ .

$S_{n} = \frac{81 \frac{1 - 19683}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.7.2

Subtrahiere $19683$ von $1$ .

$S_{n} = \frac{81 (\frac{- 19682}{19683})}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{n} = \frac{81 \cdot - 1 \frac{19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.9

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.2.1.9.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$S_{n} = \frac{- (81 (\frac{19682}{19683}))}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.9.2

Kombiniere $81$ und $\frac{19682}{19683}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.9.3

Mutltipliziere $81$ mit $19682$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{1594242}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1594242$ und $19683$ .

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Schritt 3.2.1.10.1

Faktorisiere $81$ aus $1594242$ heraus.

$S_{n} = \frac{- \frac{81 (19682)}{19683}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1.10.2.1

Faktorisiere $81$ aus $19683$ heraus.

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{n} = \frac{- \frac{81 \cdot 19682}{81 \cdot 243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.1.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Schritt 3.2.2.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{1 - 3}{3}}$

Schritt 3.2.2.4.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{\frac{- 2}{3}}$

Schritt 3.2.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$S_{n} = \frac{- \frac{19682}{243}}{- \frac{2}{3}}$

Schritt 3.2.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$S_{n} = \frac{\frac{19682}{243}}{\frac{2}{3}}$

Schritt 3.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$S_{n} = \frac{19682}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $19682$ heraus.

$S_{n} = \frac{2 (9841)}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{n} = \frac{2 \cdot 9841}{243} \cdot \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{n} = \frac{9841}{243} \cdot 3$

Schritt 3.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $243$ heraus.

$S_{n} = \frac{9841}{3 (81)} \cdot 3$

Schritt 3.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$S_{n} = \frac{9841}{3 \cdot 81} \cdot 3$

Schritt 3.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$S_{n} = \frac{9841}{81}$