Elementarmathematik Beispiele

$10 + 5 x = - {(1 - y)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $x$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - {(1 - y)}^{2} - 10$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - {(1 - y)}^{2} - 10$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - {(1 - y)}^{2} - 10$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- {(1 - y)}^{2}}{5} + \frac{- 10}{5}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- {(1 - y)}^{2}}{5} + \frac{- 10}{5}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- {(1 - y)}^{2}}{5} + \frac{- 10}{5}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{{(1 - y)}^{2}}{5} + \frac{- 10}{5}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Dividiere $- 10$ durch $5$ .

$x = - \frac{{(1 - y)}^{2}}{5} - 2$

Schritt 1.1.3

Stelle die Terme um.

$x = - \frac{1}{5} \cdot {(1 - y)}^{2} - 2$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{1}{5} \cdot {(1 - y)}^{2} - 2$ an.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(1 - y)}^{2}$ als $(1 - y) (1 - y)$ um.

$- \frac{1}{5} \cdot ((1 - y) (1 - y)) - 2$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(1 - y) (1 - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{5} \cdot (1 (1 - y) - y (1 - y)) - 2$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{5} \cdot (1 \cdot 1 + 1 (- y) - y (1 - y)) - 2$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{5} \cdot (1 \cdot 1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y)) - 2$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 + 1 (- y) - y \cdot 1 - y (- y)) - 2$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Mutltipliziere $- y$ mit $1$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y \cdot 1 - y (- y)) - 2$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y - y (- y)) - 2$

Schritt 1.2.1.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y - 1 \cdot - 1 y \cdot y) - 2$

Schritt 1.2.1.1.3.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.5.1

Bewege $y$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) - 2$

Schritt 1.2.1.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y - 1 \cdot - 1 y^{2}) - 2$

Schritt 1.2.1.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y + 1 y^{2}) - 2$

Schritt 1.2.1.1.3.1.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - y - y + y^{2}) - 2$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Subtrahiere $y$ von $- y$ .

$- \frac{1}{5} \cdot (1 - 2 y + y^{2}) - 2$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{1}{5} \cdot 1 - \frac{1}{5} (- 2 y) - \frac{1}{5} y^{2} - 2$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{5} - \frac{1}{5} (- 2 y) - \frac{1}{5} y^{2} - 2$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Multipliziere $- \frac{1}{5} (- 2 y)$ .

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Schritt 1.2.1.1.5.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{5} + 2 (\frac{1}{5}) y - \frac{1}{5} y^{2} - 2$

Schritt 1.2.1.1.5.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} y - \frac{1}{5} y^{2} - 2$

Schritt 1.2.1.1.5.2.3

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $y$ .

$- \frac{1}{5} + \frac{2 y}{5} - \frac{1}{5} y^{2} - 2$

Schritt 1.2.1.1.5.3

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{5} + \frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} - 2$

Schritt 1.2.1.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} - \frac{1}{5} - 2 \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 1.2.1.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} - \frac{1}{5} + \frac{- 2 \cdot 5}{5}$

Schritt 1.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{- 1 - 2 \cdot 5}{5}$

Schritt 1.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $5$ .

$\frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{- 1 - 10}{5}$

Schritt 1.2.1.5.2

Subtrahiere $10$ von $- 1$ .

$\frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{- 11}{5}$

Schritt 1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 y}{5} - \frac{y^{2}}{5} - \frac{11}{5}$

Schritt 1.2.1.7

Stelle $\frac{2 y}{5}$ und $- \frac{y^{2}}{5}$ um.

$- \frac{y^{2}}{5} + \frac{2 y}{5} - \frac{11}{5}$

Schritt 1.2.2

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{5}$

$b = \frac{2}{5}$

$c = - \frac{11}{5}$

Schritt 1.2.3

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{2}{5}}{2 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{5}}$

Schritt 1.2.4.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{1}{- \frac{1}{5}}$ .

$d = \frac{1}{5 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$d = \frac{1}{- 5 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.5

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{5}$ .

$d = \frac{1}{\frac{- 5}{5}}$

Schritt 1.2.4.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

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Schritt 1.2.4.2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$d = \frac{1}{\frac{5 \cdot - 1}{5}}$

Schritt 1.2.4.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$d = \frac{1}{\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)}}$

Schritt 1.2.4.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{1}{\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1}}$

Schritt 1.2.4.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{\frac{- 1}{1}}$

Schritt 1.2.4.2.6.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$d = \frac{1}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.7

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Schritt 1.2.4.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$d = - 1$

Schritt 1.2.5

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{11}{5} - \frac{{(\frac{2}{5})}^{2}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.5.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{5}$ an.

$e = - \frac{11}{5} - \frac{\frac{2^{2}}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = - \frac{11}{5} - \frac{\frac{4}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.5.2.1.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = - \frac{11}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{4 (- \frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - \frac{11}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{- 4 (\frac{1}{5})}$

Schritt 1.2.5.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{5}$ .

$e = - \frac{11}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{\frac{- 4}{5}}$

Schritt 1.2.5.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{11}{5} - \frac{\frac{4}{25}}{- \frac{4}{5}}$

Schritt 1.2.5.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{4}{25} (- \frac{5}{4}))$

Schritt 1.2.5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{4}$ in den Zähler.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{4}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Schritt 1.2.5.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{4}{25} \cdot \frac{- 5}{4})$

Schritt 1.2.5.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{1}{25} \cdot - 5)$

Schritt 1.2.5.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.6.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{1}{5 (5)} \cdot - 5)$

Schritt 1.2.5.2.1.6.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{1}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Schritt 1.2.5.2.1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{1}{5 \cdot 5} \cdot (5 \cdot - 1))$

Schritt 1.2.5.2.1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$e = - \frac{11}{5} - (\frac{1}{5} \cdot - 1)$

Schritt 1.2.5.2.1.7

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 1$ .

$e = - \frac{11}{5} - \frac{- 1}{5}$

Schritt 1.2.5.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{11}{5} - - \frac{1}{5}$

Schritt 1.2.5.2.1.9

Multipliziere $- - \frac{1}{5}$ .

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Schritt 1.2.5.2.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - \frac{11}{5} + 1 (\frac{1}{5})$

Schritt 1.2.5.2.1.9.2

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $1$ .

$e = - \frac{11}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 1.2.5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 11 + 1}{5}$

Schritt 1.2.5.2.3

Addiere $- 11$ und $1$ .

$e = \frac{- 10}{5}$

Schritt 1.2.5.2.4

Dividiere $- 10$ durch $5$ .

$e = - 2$

Schritt 1.2.6

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{5} {(y - 1)}^{2} - 2$ ein.

$- \frac{1}{5} {(y - 1)}^{2} - 2$

Schritt 1.3

Setze $x$ gleich der neuen rechten Seite.

$x = - \frac{1}{5} \cdot {(y - 1)}^{2} - 2$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{5}$

$h = - 2$

$k = 1$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 2, 1)$

Schritt 4