Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{4} (x - 1) (x + 7)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Isoliere $y$ auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{4} \cdot ((x - 1) (x + 7))$

Schritt 1.1.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{4} \cdot ((x - 1) (x + 7))$

Schritt 1.1.3

Vereinfache $\frac{1}{4} \cdot ((x - 1) (x + 7))$ .

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Schritt 1.1.3.1

Multipliziere $(x - 1) (x + 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x (x + 7) - 1 (x + 7))$

Schritt 1.1.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x \cdot x + x \cdot 7 - 1 (x + 7))$

Schritt 1.1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x \cdot x + x \cdot 7 - 1 x - 1 \cdot 7)$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + x \cdot 7 - 1 x - 1 \cdot 7)$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 7 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 7)$

Schritt 1.1.3.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 7 x - x - 1 \cdot 7)$

Schritt 1.1.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 7 x - x - 7)$

Schritt 1.1.3.2.2

Subtrahiere $x$ von $7 x$ .

$y = \frac{1}{4} \cdot (x^{2} + 6 x - 7)$

Schritt 1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} (6 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.4.1

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{4} (6 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Schritt 1.1.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (6 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Schritt 1.1.3.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (3 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Schritt 1.1.3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (3 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Schritt 1.1.3.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{1}{2} (3 x) + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Schritt 1.1.3.4.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3}{2} x + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Schritt 1.1.3.4.4

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{1}{4} \cdot - 7$

Schritt 1.1.3.4.5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 7$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{- 7}{4}$

Schritt 1.1.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - \frac{7}{4}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} - \frac{7}{4}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{3}{2}$

$c = - \frac{7}{4}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{3}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Schritt 1.2.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.2.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{3}{2} (1 \cdot 2)$

Schritt 1.2.3.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $1 \cdot 2$ heraus.

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Schritt 1.2.3.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Schritt 1.2.3.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$d = 3$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - \frac{7}{4} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{\frac{4}{4}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $4$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{1}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Dividiere $\frac{9}{4}$ durch $1$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{9}{4}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 7 - 9}{4}$

Schritt 1.2.4.2.3

Subtrahiere $9$ von $- 7$ .

$e = \frac{- 16}{4}$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $- 16$ durch $4$ .

$e = - 4$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 4$ ein.

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 4$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 3)}^{2} - 4$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 3$

$k = - 4$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 3, - 4)$

Schritt 4