Elementarmathematik Beispiele

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y - 889 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Hyperbel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Addiere $889$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $11 x^{2} + 22 x$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 11$

$b = 22$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{22}{2 \cdot 11}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $22$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $22$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 11$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 (11)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 11}{2 \cdot 11}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{11}{11}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{11}{11}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{22^{2}}{4 \cdot 11}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $22$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{484}{4 \cdot 11}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $11$ .

$e = 0 - \frac{484}{44}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $484$ durch $44$ .

$e = 0 - 1 \cdot 11$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $11$ .

$e = 0 - 11$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $11$ von $0$ .

$e = - 11$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ ein.

$11 {(x + 1)}^{2} - 11$

Schritt 1.3

Setze $11 {(x + 1)}^{2} - 11$ für $11 x^{2} + 22 x$ ein in der Gleichung $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 11 - 25 y^{2} + 250 y = 889$

Schritt 1.4

Bringe $- 11$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $11$ auf beiden Seiten.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 y^{2} + 250 y = 889 + 11$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 25 y^{2} + 250 y$ an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 25$

$b = 250$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{250}{2 \cdot - 25}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $250$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $250$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 25$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 (- 25)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 125}{2 \cdot - 25}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{125}{- 25}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $125$ und $- 25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$d = \frac{25 (5)}{- 25}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

Schritt 1.5.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$d = - 5$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{250^{2}}{4 \cdot - 25}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $250$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{62500}{4 \cdot - 25}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 25$ .

$e = 0 - \frac{62500}{- 100}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $62500$ durch $- 100$ .

$e = 0 - - 625$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 625$ .

$e = 0 + 625$

Schritt 1.5.4.2.2

Addiere $0$ und $625$ .

$e = 625$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ ein.

$- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$

Schritt 1.6

Setze $- 25 {(y - 5)}^{2} + 625$ für $- 25 y^{2} + 250 y$ ein in der Gleichung $11 x^{2} - 25 y^{2} + 22 x + 250 y = 889$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} + 625 = 889 + 11$

Schritt 1.7

Bringe $625$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $625$ auf beiden Seiten.

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 889 + 11 - 625$

Schritt 1.8

Vereinfache $889 + 11 - 625$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.8.1

Addiere $889$ und $11$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 900 - 625$

Schritt 1.8.2

Subtrahiere $625$ von $900$ .

$11 {(x + 1)}^{2} - 25 {(y - 5)}^{2} = 275$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $275$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{11 {(x + 1)}^{2}}{275} - \frac{25 {(y - 5)}^{2}}{275} = \frac{275}{275}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{25} - \frac{{(y - 5)}^{2}}{11} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Scheitelpunkte und Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 5$

$b = \sqrt{11}$

$k = 5$

$h = - 1$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Hyperbel folgt der Form von $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(- 1, 5)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Hyperbel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(\sqrt{11})}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{25 + {(\sqrt{11})}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Schreibe ${\sqrt{11}}^{2}$ als $11$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11}$ als $11^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{25 + {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{25 + 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{25 + 11^{1}}$

Schritt 5.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{25 + 11}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Addiere $25$ und $11$ .

$\sqrt{36}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\sqrt{6^{2}}$

Schritt 5.3.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$6$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(4, 5)$

Schritt 6.3

Der zweite Scheitelpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 6, 5)$

Schritt 6.5

Die Scheitelpunkte einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm a, k)$ . Hyperbeln haben zwei Scheitelpunkte.

$(4, 5), (- 6, 5)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(5, 5)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Hyperbel kann durch Substrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$(- 7, 5)$

Schritt 7.5

Die Brennpunkt einer Hyperbel folgen der Form $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Hyperbeln haben zwei Brennpunkte.

$(5, 5), (- 7, 5)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(\sqrt{11})}^{2}}}{5}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + {\sqrt{11}}^{2}}}{5}$

Schritt 8.3.2

Schreibe ${\sqrt{11}}^{2}$ als $11$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11}$ als $11^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{\sqrt{25 + {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{5}$

Schritt 8.3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{5}$

Schritt 8.3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Schritt 8.3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{25 + 11^{\frac{2}{2}}}}{5}$

Schritt 8.3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{25 + 11^{1}}}{5}$

Schritt 8.3.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{\sqrt{25 + 11}}{5}$

Schritt 8.3.3

Addiere $25$ und $11$ .

$\frac{\sqrt{36}}{5}$

Schritt 8.3.4

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{6^{2}}}{5}$

Schritt 8.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{6}{5}$

Schritt 9

Bestimme den fokalen Parameter.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ermittle den Wert für den fokalen Parameter der Hyperbel mithilfe der folgenden Formel.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Schritt 9.2

Ersetze die Werte von $b$ und $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ in der Formel.

$\frac{{\sqrt{11}}^{2}}{6}$

Schritt 9.3

Schreibe ${\sqrt{11}}^{2}$ als $11$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11}$ als $11^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Schritt 9.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Schritt 9.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{11^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 9.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 9.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{11^{1}}{6}$

Schritt 9.3.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{11}{6}$

Schritt 10

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Schritt 11

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Schritt 11.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x + 1) + 5$

Schritt 11.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{\sqrt{11}}{5} x + \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Schritt 11.2.3

Kombiniere $\frac{\sqrt{11}}{5}$ und $x$ .

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Schritt 11.2.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{11}}{5}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Schritt 12

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x - (- 1)) + 5$

Schritt 12.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot (x + 1) + 5$

Schritt 12.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{\sqrt{11}}{5} x - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Schritt 12.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{\sqrt{11}}{5}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} \cdot 1 + 5$

Schritt 12.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Schritt 13

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5, y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Schritt 14

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Hyperbel dar.

Mittelpunkt: $(- 1, 5)$

Scheitelpunkte: $(4, 5), (- 6, 5)$

Brennpunkte: $(5, 5), (- 7, 5)$

Exzentrizität: $\frac{6}{5}$

Fokaler Parameter: $\frac{11}{6}$

Asymptoten: $y = \frac{\sqrt{11} x}{5} + \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$ , $y = - \frac{x \sqrt{11}}{5} - \frac{\sqrt{11}}{5} + 5$

Schritt 15