Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt[4]{x} - 3$ ; find $f^{- 1} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt[4]{x} - 3$ als Gleichung.

$y = \sqrt[4]{x} - 3$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[4]{y} - 3$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[4]{y} - 3 = x$ um.

$\sqrt[4]{y} - 3 = x$

Schritt 3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt[4]{y} = x + 3$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur $4$ . Potenz.

${\sqrt[4]{y}}^{4} = {(x + 3)}^{4}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{y}$ als $y^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{4}})}^{4} = {(x + 3)}^{4}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(x + 3)}^{4}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{4} \cdot 4} = {(x + 3)}^{4}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(x + 3)}^{4}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$y = {(x + 3)}^{4}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x + 3)}^{4}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = x^{4} + 4 x^{3} \cdot 3 + 6 x^{2} \cdot 3^{2} + 4 x \cdot 3^{3} + 3^{4}$

Schritt 3.4.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$y = x^{4} + 12 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 3^{2} + 4 x \cdot 3^{3} + 3^{4}$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = x^{4} + 12 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 9 + 4 x \cdot 3^{3} + 3^{4}$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$y = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x \cdot 3^{3} + 3^{4}$

Schritt 3.4.3.1.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$y = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x \cdot 27 + 3^{4}$

Schritt 3.4.3.1.2.5

Mutltipliziere $27$ mit $4$ .

$y = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 3^{4}$

Schritt 3.4.3.1.2.6

Potenziere $3$ mit $4$ .

$y = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[4]{x} - 3$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = {\sqrt[4]{x}}^{4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot - 3 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.2.1

Schreibe ${\sqrt[4]{x}}^{4}$ als $x$ um.

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = {(x^{\frac{1}{4}})}^{4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot - 3 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot - 3 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x^{\frac{4}{4}} + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot - 3 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.2.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 4 {\sqrt[4]{x}}^{3} \cdot - 3 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.1.5

Vereinfache.

Schritt 5.2.3.2.2

Schreibe ${\sqrt[4]{x}}^{3}$ als $\sqrt[4]{x^{3}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 4 \sqrt[4]{x^{3}} \cdot - 3 + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 {\sqrt[4]{x}}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.4

Schreibe ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ als $\sqrt{x}$ um.

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Schritt 5.2.3.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{2}{4}} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.2.3.2.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{2 (1)}{4}} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.2.3.2.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 x^{\frac{1}{2}} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.4.5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 \sqrt{x} {(- 3)}^{2} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.5

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 6 \sqrt{x} \cdot 9 + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.6

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} + 4 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.7

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} + 4 \sqrt[4]{x} \cdot - 27 + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.8

Mutltipliziere $- 27$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + {(- 3)}^{4} + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.2.9

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{3} + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 ({\sqrt[4]{x}}^{3} + 3 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot - 3 + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.4.1

Schreibe ${\sqrt[4]{x}}^{3}$ als $\sqrt[4]{x^{3}}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 {\sqrt[4]{x}}^{2} \cdot - 3 + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.2

Schreibe ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ als $\sqrt{x}$ um.

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Schritt 5.2.3.4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 {(x^{\frac{1}{4}})}^{2} \cdot - 3 + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{1}{4} \cdot 2} \cdot - 3 + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2}{4}} \cdot - 3 + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.2.3.4.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2 (1)}{4}} \cdot - 3 + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.2.3.4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3 + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.2.5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} + 3 \sqrt{x} \cdot - 3 + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} - 9 \sqrt{x} + 3 \sqrt[4]{x} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.4

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} - 9 \sqrt{x} + 3 \sqrt[4]{x} \cdot 9 + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.5

Mutltipliziere $9$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} - 9 \sqrt{x} + 27 \sqrt[4]{x} + {(- 3)}^{3}) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.4.6

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 (\sqrt[4]{x^{3}} - 9 \sqrt{x} + 27 \sqrt[4]{x} - 27) + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 12 (- 9 \sqrt{x}) + 12 (27 \sqrt[4]{x}) + 12 \cdot - 27 + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.6.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $12$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 12 (27 \sqrt[4]{x}) + 12 \cdot - 27 + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.6.2

Mutltipliziere $27$ mit $12$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} + 12 \cdot - 27 + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.6.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 27$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 {(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2} + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.7

Schreibe ${(\sqrt[4]{x} - 3)}^{2}$ als $(\sqrt[4]{x} - 3) (\sqrt[4]{x} - 3)$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 ((\sqrt[4]{x} - 3) (\sqrt[4]{x} - 3)) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.8

Multipliziere $(\sqrt[4]{x} - 3) (\sqrt[4]{x} - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (\sqrt[4]{x} (\sqrt[4]{x} - 3) - 3 (\sqrt[4]{x} - 3)) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (\sqrt[4]{x} \sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 (\sqrt[4]{x} - 3)) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 5.2.3.9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.9.1.1

Multipliziere $\sqrt[4]{x} \sqrt[4]{x}$ .

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Schritt 5.2.3.9.1.1.1

Potenziere $\sqrt[4]{x}$ mit $1$ .

Schritt 5.2.3.9.1.1.2

Potenziere $\sqrt[4]{x}$ mit $1$ .

Schritt 5.2.3.9.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 ({\sqrt[4]{x}}^{1 + 1} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 ({\sqrt[4]{x}}^{2} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.1.2

Schreibe ${\sqrt[4]{x}}^{2}$ als $\sqrt{x}$ um.

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Schritt 5.2.3.9.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 ({(x^{\frac{1}{4}})}^{2} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{4} \cdot 2} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (x^{\frac{2}{4}} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $4$ .

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Schritt 5.2.3.9.1.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (x^{\frac{2 (1)}{4}} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.1.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.9.1.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (x^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.2.3.9.1.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (x^{\frac{1}{2}} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.1.2.5

Schreibe $x^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{x}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (\sqrt{x} + \sqrt[4]{x} \cdot - 3 - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.1.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $\sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (\sqrt{x} - 3 \cdot \sqrt[4]{x} - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \cdot - 3) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (\sqrt{x} - 3 \sqrt[4]{x} - 3 \sqrt[4]{x} + 9) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.9.2

Subtrahiere $3 \sqrt[4]{x}$ von $- 3 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 (\sqrt{x} - 6 \sqrt[4]{x} + 9) + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.10

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 \sqrt{x} + 54 (- 6 \sqrt[4]{x}) + 54 \cdot 9 + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.11

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.11.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $54$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 \sqrt{x} - 324 \sqrt[4]{x} + 54 \cdot 9 + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.11.2

Mutltipliziere $54$ mit $9$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 \sqrt{x} - 324 \sqrt[4]{x} + 486 + 108 (\sqrt[4]{x} - 3) + 81$

Schritt 5.2.3.12

Wende das Distributivgesetz an.

Schritt 5.2.3.13

Mutltipliziere $108$ mit $- 3$ .

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 12 \sqrt[4]{x^{3}} + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 + 12 \sqrt[4]{x^{3}} - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 \sqrt{x} - 324 \sqrt[4]{x} + 486 + 108 \sqrt[4]{x} - 324 + 81$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Addiere $- 12 \sqrt[4]{x^{3}}$ und $12 \sqrt[4]{x^{3}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 0 + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 \sqrt{x} - 324 \sqrt[4]{x} + 486 + 108 \sqrt[4]{x} - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.1.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 - 108 \sqrt{x} + 324 \sqrt[4]{x} - 324 + 54 \sqrt{x} - 324 \sqrt[4]{x} + 486 + 108 \sqrt[4]{x} - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.1.3

Subtrahiere $324 \sqrt[4]{x}$ von $324 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 - 108 \sqrt{x} + 0 - 324 + 54 \sqrt{x} + 486 + 108 \sqrt[4]{x} - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.1.4

Addiere $x + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 - 108 \sqrt{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 54 \sqrt{x} - 108 \sqrt[4]{x} + 81 - 108 \sqrt{x} - 324 + 54 \sqrt{x} + 486 + 108 \sqrt[4]{x} - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.1.5

Addiere $- 108 \sqrt[4]{x}$ und $108 \sqrt[4]{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 54 \sqrt{x} + 0 + 81 - 108 \sqrt{x} - 324 + 54 \sqrt{x} + 486 - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.1.6

Addiere $x + 54 \sqrt{x}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 54 \sqrt{x} + 81 - 108 \sqrt{x} - 324 + 54 \sqrt{x} + 486 - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $108 \sqrt{x}$ von $54 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 81 - 54 \sqrt{x} - 324 + 54 \sqrt{x} + 486 - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 81 - 54 \sqrt{x} - 324 + 54 \sqrt{x} + 486 - 324 + 81$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Addiere $- 54 \sqrt{x}$ und $54 \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 81 + 0 - 324 + 486 - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $x + 81$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 81 - 324 + 486 - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.4

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 5.2.4.4.1

Subtrahiere $324$ von $81$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 243 + 486 - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.4.2

Addiere $- 243$ und $486$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 243 - 324 + 81$

Schritt 5.2.4.4.3

Subtrahiere $324$ von $243$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x - 81 + 81$

Schritt 5.2.4.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 81 + 81$ .

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Schritt 5.2.4.5.1

Addiere $- 81$ und $81$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x + 0$

Schritt 5.2.4.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[4]{x} - 3) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81) = \sqrt[4]{x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81} - 3$

Schritt 5.3.3

Entferne die Klammern.

$f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81) = \sqrt[4]{x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81} - 3$

Schritt 5.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.1

Passe jeden Term so an, dass er den Termen des binomischen Lehrsatzes entspricht.

$f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81) = \sqrt[4]{x^{4} + 4 \cdot (3 x^{3}) + 6 \cdot (3^{2} x^{2}) + 4 \cdot (3^{3} x) + 3^{4}} - 3$

Schritt 5.3.4.2

Faktorisiere $x^{4} + 4 \cdot 3 x^{3} + 6 \cdot 3^{2} x^{2} + 4 \cdot 3^{3} x + 3^{4}$ mithilfe des Binomischen Lehrsatzes.

$f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81) = \sqrt[4]{{(x + 3)}^{4}} - 3$

Schritt 5.3.4.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81) = x + 3 - 3$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 3 - 3$ .

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Schritt 5.3.5.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[4]{x} - 3$ .

$f^{- 1} (x) = x^{4} + 12 x^{3} + 54 x^{2} + 108 x + 81$