Elementarmathematik Beispiele

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 24 x + 72 y + 144 = 0$

Schritt 1

Bestimme die Standardform der Ellipse.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $144$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} + 9 y^{2} - 24 x + 72 y = - 144$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 x^{2} - 24 x$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = - 24$

$c = 0$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 24}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 24$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (4)}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 12}{4}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $4$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4 (1)}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{4 \cdot - 3}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 3}{1}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$d = - 3$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$e = 0 - \frac{576}{16}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $576$ durch $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $36$ .

$e = 0 - 36$

Schritt 1.2.4.2.2

Subtrahiere $36$ von $0$ .

$e = - 36$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(x - 3)}^{2} - 36$ ein.

$4 {(x - 3)}^{2} - 36$

Schritt 1.3

Setze $4 {(x - 3)}^{2} - 36$ für $4 x^{2} - 24 x$ ein in der Gleichung $4 x^{2} + 9 y^{2} - 24 x + 72 y = - 144$ .

$4 {(x - 3)}^{2} - 36 + 9 y^{2} + 72 y = - 144$

Schritt 1.4

Bringe $- 36$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $36$ auf beiden Seiten.

$4 {(x - 3)}^{2} + 9 y^{2} + 72 y = - 144 + 36$

Schritt 1.5

Wende die quadratische Ergänzung auf $9 y^{2} + 72 y$ an.

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Schritt 1.5.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 9$

$b = 72$

$c = 0$

Schritt 1.5.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.5.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{72}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $72$ und $2$ .

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Schritt 1.5.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $72$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.5.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 9$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 (9)}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 36}{2 \cdot 9}$

Schritt 1.5.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{36}{9}$

Schritt 1.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $36$ und $9$ .

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Schritt 1.5.3.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $36$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot 4}{9}$

Schritt 1.5.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.5.3.2.2.2.1

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$d = \frac{9 \cdot 4}{9 (1)}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{9 \cdot 4}{9 \cdot 1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{4}{1}$

Schritt 1.5.3.2.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$d = 4$

Schritt 1.5.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.5.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{72^{2}}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.5.4.2.1.1

Potenziere $72$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot 9}$

Schritt 1.5.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$e = 0 - \frac{5184}{36}$

Schritt 1.5.4.2.1.3

Dividiere $5184$ durch $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 144$

Schritt 1.5.4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $144$ .

$e = 0 - 144$

Schritt 1.5.4.2.2

Subtrahiere $144$ von $0$ .

$e = - 144$

Schritt 1.5.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $9 {(y + 4)}^{2} - 144$ ein.

$9 {(y + 4)}^{2} - 144$

Schritt 1.6

Setze $9 {(y + 4)}^{2} - 144$ für $9 y^{2} + 72 y$ ein in der Gleichung $4 x^{2} + 9 y^{2} - 24 x + 72 y = - 144$ .

$4 {(x - 3)}^{2} + 9 {(y + 4)}^{2} - 144 = - 144 + 36$

Schritt 1.7

Bringe $- 144$ auf die rechte Seite der Gleichung durch Addieren von $144$ auf beiden Seiten.

$4 {(x - 3)}^{2} + 9 {(y + 4)}^{2} = - 144 + 36 + 144$

Schritt 1.8

Vereinfache $- 144 + 36 + 144$ .

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Schritt 1.8.1

Addiere $- 144$ und $36$ .

$4 {(x - 3)}^{2} + 9 {(y + 4)}^{2} = - 108 + 144$

Schritt 1.8.2

Addiere $- 108$ und $144$ .

$4 {(x - 3)}^{2} + 9 {(y + 4)}^{2} = 36$

Schritt 1.9

Teile jeden Term durch $36$ , um die rechte Seite gleich Eins zu machen.

$\frac{4 {(x - 3)}^{2}}{36} + \frac{9 {(y + 4)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{4} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Ellipse. Benutze diese Form, um die Werte zu ermitteln, die verwendet werden, um den Mittelpunkt zusammen mit der Haupt- und Nebenachse der Ellipse zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Ellipse mit denen der Standardform ab. Die Variable $a$ stellt den Radius der Hauptachse der Ellipse dar, $b$ den Radius der Nebenachse der Ellipse, $h$ das x-Offset vom Ursprung und $k$ das y-Offset vom Ursprung.

$a = 3$

$b = 2$

$k = - 4$

$h = 3$

Schritt 4

Der Mittelpunkt einer Ellipse folgt der Form $(h, k)$ . Setze die Werte von $h$ und $k$ ein.

$(3, - 4)$

Schritt 5

Berechne $c$ , den Abstand zwischen Mittelpunkt und Brennpunkt.

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Schritt 5.1

Ermittle den Abstand vom Mittelpunkt zu einem Brennpunkt der Ellipse durch Anwendung der folgenden Formel.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Schritt 5.2

Ersetze die Werte von $a$ und $b$ in der Formel.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{9 - {(2)}^{2}}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{9 - 1 \cdot 4}$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\sqrt{9 - 4}$

Schritt 5.3.4

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$\sqrt{5}$

Schritt 6

Finde die Scheitelpunkte.

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Schritt 6.1

Der erste Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $a$ zu $h$ ermittelt werden.

$(h + a, k)$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(3 + 3, - 4)$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$(6, - 4)$

Schritt 6.4

Der zweite Scheitelpunkt einer Ellipse kann durch Substrahieren von $a$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - a, k)$

Schritt 6.5

Setze die bekannten Werte von $h$ , $a$ und $k$ in die Formel ein.

$(3 - (3), - 4)$

Schritt 6.6

Vereinfache.

$(0, - 4)$

Schritt 6.7

Ellipsen haben zwei Scheitelpunkte.

${Vertex}_{1}$ : $(6, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(6, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

Schritt 7

Ermittle die Brennpunkte.

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Schritt 7.1

Der erste Brennpunkt einer Ellipse kann durch Addieren von $c$ zu $h$ gefunden werden.

$(h + c, k)$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(3 + \sqrt{5}, - 4)$

Schritt 7.3

Der zweite Brennpunkt einer Ellipse kann durch Subtrahieren von $c$ von $h$ ermittelt werden.

$(h - c, k)$

Schritt 7.4

Setze die bekannten Werte von $h$ , $c$ und $k$ in die Formel ein.

$(3 - (\sqrt{5}), - 4)$

Schritt 7.5

Vereinfache.

$(3 - \sqrt{5}, - 4)$

Schritt 7.6

Ellipsen haben zwei Brennpunkte.

${Focus}_{1}$ : $(3 + \sqrt{5}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(3 - \sqrt{5}, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(3 + \sqrt{5}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(3 - \sqrt{5}, - 4)$

Schritt 8

Ermittle die Exzentrizität.

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Schritt 8.1

Bestimme die Exzentrizität mittels der folgenden Formel.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Schritt 8.2

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel ein.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}}{3}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 2^{2}}}{3}$

Schritt 8.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1 \cdot 4}}{3}$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{\sqrt{9 - 4}}{3}$

Schritt 8.3.4

Subtrahiere $4$ von $9$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Schritt 9

Diese Werte stellen die wichtigen Werte für die graphische Darstellung und Analyse einer Ellipse dar.

Mittelpunkt: $(3, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(6, - 4)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 4)$

${Focus}_{1}$ : $(3 + \sqrt{5}, - 4)$

${Focus}_{2}$ : $(3 - \sqrt{5}, - 4)$

Exzentrizität: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Schritt 10