Elementarmathematik Beispiele

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x^{5} + 2 x^{3} + x}$

Schritt 1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 1.1

Faktorisiere den Bruch.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5} + 2 x^{3} + x$ heraus.

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Schritt 1.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x}$

Schritt 1.1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x}$

Schritt 1.1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x^{1}}$

Schritt 1.1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ heraus.

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1}$

Schritt 1.1.1.6

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x (x^{4} + 2 x^{2} + 1)}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1)}$

Schritt 1.1.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x (u^{2} + 2 u + 1)}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.1.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x (u^{2} + 2 u + 1^{2})}$

Schritt 1.1.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Schritt 1.1.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2})}$

Schritt 1.1.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 1$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x {(u + 1)}^{2}}$

Schritt 1.1.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3}{x {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.2

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{D x + F}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.4

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x {(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3) ({(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3) {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.6.2

Dividiere $3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3$ durch $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = \frac{A (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x} + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.1.2

Dividiere $A ({(x^{2} + 1)}^{2})$ durch $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A ({(x^{2} + 1)}^{2}) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.2

Schreibe ${(x^{2} + 1)}^{2}$ als $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ um.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.3

Multipliziere $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.7.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.7.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.4.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.4.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.4.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.4.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.4.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.4.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.4.2

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.5

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + A (2 x^{2}) + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.6

Vereinfache.

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Schritt 1.7.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.6.2

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.7.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.7.2

Dividiere $(B x + C) (x)$ durch $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + (B x + C) (x) + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.8

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x \cdot x + C x + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.9

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.9.1

Bewege $x$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.9.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(x^{2} + 1)}^{2}$ und $x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.7.10.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $(D x + F) (x {(x^{2} + 1)}^{2})$ heraus.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(x^{2} + 1) ((D x + F) (x (x^{2} + 1)))}{x^{2} + 1}$

Schritt 1.7.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.10.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(x^{2} + 1) ((D x + F) (x (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Schritt 1.7.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(x^{2} + 1) ((D x + F) (x (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) \cdot 1}$

Schritt 1.7.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + \frac{(D x + F) (x (x^{2} + 1))}{1}$

Schritt 1.7.10.2.4

Dividiere $(D x + F) (x (x^{2} + 1))$ durch $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x (x^{2} + 1))$

Schritt 1.7.11

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1)$

Schritt 1.7.12

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.12.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.7.12.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1)$

Schritt 1.7.12.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x^{1 + 2} + x \cdot 1)$

Schritt 1.7.12.2

Addiere $1$ und $2$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x^{3} + x \cdot 1)$

Schritt 1.7.13

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + (D x + F) (x^{3} + x)$

Schritt 1.7.14

Multipliziere $(D x + F) (x^{3} + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.7.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x (x^{3} + x) + F (x^{3} + x)$

Schritt 1.7.14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x \cdot x^{3} + D x \cdot x + F (x^{3} + x)$

Schritt 1.7.14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x \cdot x^{3} + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

Schritt 1.7.15

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.7.15.1

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.15.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D (x^{3} x) + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

Schritt 1.7.15.1.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 1.7.15.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D (x^{3} x) + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

Schritt 1.7.15.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x^{3 + 1} + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

Schritt 1.7.15.1.3

Addiere $3$ und $1$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x \cdot x + F x^{3} + F x$

Schritt 1.7.15.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.7.15.2.1

Bewege $x$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D (x \cdot x) + F x^{3} + F x$

Schritt 1.7.15.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 A x^{2} + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

Schritt 1.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.8.1

Bewege $A$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

Schritt 1.8.2

Stelle $B$ und $x^{2}$ um.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

Schritt 1.8.3

Stelle $F$ und $x^{3}$ um.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

Schritt 1.8.4

Stelle $F$ und $x$ um.

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x$

Schritt 1.8.5

Bewege $A$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + B x^{2} + C x + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + F x + A$

Schritt 1.8.6

Bewege $C x$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + B x^{2} + D x^{4} + D x^{2} + F x^{3} + C x + F x + A$

Schritt 1.8.7

Bewege $D x^{2}$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + B x^{2} + D x^{4} + F x^{3} + D x^{2} + C x + F x + A$

Schritt 1.8.8

Bewege $B x^{2}$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + 2 x^{2} A + D x^{4} + F x^{3} + B x^{2} + D x^{2} + C x + F x + A$

Schritt 1.8.9

Bewege $2 x^{2} A$ .

$3 x^{4} + x^{3} + 4 x^{2} + 6 x + 3 = A x^{4} + D x^{4} + F x^{3} + 2 x^{2} A + B x^{2} + D x^{2} + C x + F x + A$

Schritt 2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{4}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$3 = A + D$

Schritt 2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{3}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = F$

Schritt 2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$4 = 2 A + B + D$

Schritt 2.4

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$6 = C + F$

Schritt 2.5

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$3 = A$

Schritt 2.6

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$3 = A + D$

$1 = F$

$4 = 2 A + B + D$

$6 = C + F$

$3 = A$

$3 = A + D$

$1 = F$

$4 = 2 A + B + D$

$6 = C + F$

$3 = A$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $F = 1$ um.

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

$6 = C + F$

$3 = A$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $F$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $F$ in $6 = C + F$ durch $1$ .

$6 = C + 1$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

$3 = A$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$6 = C + 1$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

$3 = A$

$6 = C + 1$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

$3 = A$

Schritt 3.2.3

Schreibe die Gleichung als $A = 3$ um.

$A = 3$

$6 = C + 1$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

$A = 3$

$6 = C + 1$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

Schritt 3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $C + 1 = 6$ um.

$C + 1 = 6$

$A = 3$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 6 - 1$

$A = 3$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$3 = A + D$

$4 = 2 A + B + D$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $A$ in $3 = A + D$ durch $3$ .

$3 = (3) + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 2 A + B + D$

Schritt 3.3.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.4.1

Entferne die Klammern.

$3 = 3 + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 2 A + B + D$

$3 = 3 + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 2 A + B + D$

Schritt 3.3.5

Ersetze alle $A$ in $4 = 2 A + B + D$ durch $3$ .

$4 = 2 (3) + B + D$

$3 = 3 + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Schritt 3.3.6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$4 = 6 + B + D$

$3 = 3 + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 6 + B + D$

$3 = 3 + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 6 + B + D$

$3 = 3 + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Schritt 3.4

Löse in $3 = 3 + D$ nach $D$ auf.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $3 + D = 3$ um.

$3 + D = 3$

$4 = 6 + B + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Schritt 3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $D$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$D = 3 - 3$

$4 = 6 + B + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Schritt 3.4.2.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$D = 0$

$4 = 6 + B + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$D = 0$

$4 = 6 + B + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$D = 0$

$4 = 6 + B + D$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Schritt 3.5

Ersetze alle Vorkommen von $D$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Ersetze alle $D$ in $4 = 6 + B + D$ durch $0$ .

$4 = 6 + B + 0$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Schritt 3.5.2

Vereinfache $4 = 6 + B + 0$ .

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1.1

Entferne die Klammern.

$4 = 6 + B + 0$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 6 + B + 0$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Addiere $6 + B$ und $0$ .

$4 = 6 + B$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 6 + B$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 6 + B$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$4 = 6 + B$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Schritt 3.6

Löse in $4 = 6 + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 3.6.1

Schreibe die Gleichung als $6 + B = 4$ um.

$6 + B = 4$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Schritt 3.6.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.6.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = 4 - 6$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Schritt 3.6.2.2

Subtrahiere $6$ von $4$ .

$B = - 2$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$B = - 2$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

$B = - 2$

$D = 0$

$C = 5$

$A = 3$

$F = 1$

Schritt 3.7

Löse das Gleichungssystem.

$B = - 2 D = 0 C = 5 A = 3 F = 1$

Schritt 3.8

Liste alle Lösungen auf.

$B = - 2, D = 0, C = 5, A = 3, F = 1$

Schritt 4

Replace each of the partial fraction coefficients in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{D x + F}{x^{2} + 1}$ with the values found for $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , and $F$ .

$\frac{3}{x} + \frac{- 2 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 x + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{3}{x} + \frac{(- 2) \cdot x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $x$ .

$\frac{3}{x} + \frac{- 2 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{(0) \cdot x + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\frac{3}{x} + \frac{- 2 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{0 + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 5.4

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{3}{x} + \frac{- 2 x + 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 1}$