Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + \frac{3}{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{3}{2}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{3}{2}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{3}{2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{\frac{2}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Dividiere $2$ durch $2$ .

$d = \frac{3}{1}$

Schritt 1.2.3.2.3

Dividiere $3$ durch $1$ .

$d = 3$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{3}{2} - \frac{3^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = \frac{3}{2} - \frac{9}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{3}{2} - \frac{9}{\frac{4}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$e = \frac{3}{2} - \frac{9}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{3 - 9}{2}$

Schritt 1.2.4.2.3

Subtrahiere $9$ von $3$ .

$e = \frac{- 6}{2}$

Schritt 1.2.4.2.4

Dividiere $- 6$ durch $2$ .

$e = - 3$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{1}{2} {(x + 3)}^{2} - 3$ ein.

$\frac{1}{2} {(x + 3)}^{2} - 3$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 3)}^{2} - 3$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 3$

$k = - 3$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 3, - 3)$

Schritt 4