Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3 (2 x + 5) (2 x - 5)}{3 (2 x + 5)}$

Schritt 1

Ermittle, wo der Ausdruck $\frac{3 (2 x + 5) (2 x - 5)}{3 (2 x + 5)}$ nicht definiert ist.

$x = - \frac{5}{2}$

Schritt 2

Die vertikalen Asymptoten treten in Bereichen einer unendlichen Unstetigkeit auf.

Keine vertikalen Asymptoten

Schritt 3

Betrachte die rationale Funktion $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , wobei $n$ der Grad des Zählers und $m$ der Grad des Nenners ist.

1. Wenn $n < m$ , dann ist die x-Achse, $y = 0$ , die horizontale Asymptote.

2. Wenn $n = m$ , dann ist die horizontale Asymptote die Gerade $y = \frac{a}{b}$ .

3. Wenn $n > m$ , dann gibt es keine horizontale Asymptote (es gibt eine schiefe Asymptote).

Schritt 4

Ermittle $n$ und $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Schritt 5

Da $n > m$ , gibt es keine horizontale Asymptote.

Keine horizontalen Asymptoten

Schritt 6

Ermittle die schiefe Asymptote durch Polynomdivision.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 x^{2} - 75$ und $6 x + 15$ .

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Schritt 6.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (4 x^{2}) - 75}{6 x + 15}$

Schritt 6.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 75$ heraus.

$\frac{3 (4 x^{2}) + 3 (- 25)}{6 x + 15}$

Schritt 6.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (4 x^{2}) + 3 (- 25)$ heraus.

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{6 x + 15}$

Schritt 6.1.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{3 (2 x) + 15}$

Schritt 6.1.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{3 (2 x) + 3 (5)}$

Schritt 6.1.1.4.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 x) + 3 (5)$ heraus.

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{3 (2 x + 5)}$

Schritt 6.1.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (4 x^{2} - 25)}{3 (2 x + 5)}$

Schritt 6.1.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{2} - 25}{2 x + 5}$

Schritt 6.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.2.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$\frac{{(2 x)}^{2} - 25}{2 x + 5}$

Schritt 6.1.2.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{{(2 x)}^{2} - 5^{2}}{2 x + 5}$

Schritt 6.1.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 5$ .

$\frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{2 x + 5}$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 5$ .

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Schritt 6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 x + 5) (2 x - 5)}{2 x + 5}$

Schritt 6.1.3.2

Dividiere $2 x - 5$ durch $1$ .

$2 x - 5$

Schritt 6.2

Die schiefe Asymptote ist der Polynomteil des Ergebnisses der schriftlichen Division.

$y = 2 x - 5$

Schritt 7

Das ist die Menge aller Asymptoten.

Keine vertikalen Asymptoten

Keine horizontalen Asymptoten

Schiefe Asymptoten: $y = 2 x - 5$

Schritt 8