Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{\frac{x + 5}{(x - 7) (x - 2)}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{\frac{x + 5}{(x - 7) (x - 2)}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\frac{x + 5}{(x - 7) (x - 2)} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x + 5 = 0$

$x - 7 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 2.3

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 2.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.5

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - 5$

$x = 7$

$x = 2$

Schritt 2.6

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - 5, 7, 2$

Schritt 2.7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x + 5}{(x - 7) (x - 2)}$ .

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Schritt 2.7.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 5}{(x - 7) (x - 2)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x - 7) (x - 2) = 0$

Schritt 2.7.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.7.2.2

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.2.2.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 2.7.2.2.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 2.7.2.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.7.2.3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.7.2.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.7.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 7) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 7, 2$

Schritt 2.7.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, 7) \cup (7, \infty)$

Schritt 2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 2$

$2 < x < 7$

$x > 7$

Schritt 2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(- 8) + 5}{((- 8) - 7) ((- 8) - 2)} \geq 0$

Schritt 2.9.1.3

Die linke Seite $- 0.02$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.9.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 2.9.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(0) + 5}{((0) - 7) ((0) - 2)} \geq 0$

Schritt 2.9.2.3

Die linke Seite $0.3\overline{571428}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.9.3

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 2.9.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(4) + 5}{((4) - 7) ((4) - 2)} \geq 0$

Schritt 2.9.3.3

Die linke Seite $- 1.5$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 2.9.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 7$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 7$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 10$

Schritt 2.9.4.2

Ersetze $x$ durch $10$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{(10) + 5}{((10) - 7) ((10) - 2)} \geq 0$

Schritt 2.9.4.3

Die linke Seite $0.625$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 2.9.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 2$ Wahr

$2 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

$x < - 5$ Falsch

$- 5 < x < 2$ Wahr

$2 < x < 7$ Falsch

$x > 7$ Wahr

Schritt 2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 5 \leq x < 2$ oder $x > 7$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{x + 5}{(x - 7) (x - 2)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x - 7) (x - 2) = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2

Setze $x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 4.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 7) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 7, 2$

Schritt 5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- 5, 2) \cup (7, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | - 5 \leq x < 2, x > 7}$

Schritt 6