Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{x - \frac{4}{x}}$

Schritt 1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x - \frac{4}{x}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x - \frac{4}{x} \geq 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, x, 1$

Schritt 2.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x$

Schritt 2.2

Multipliziere jeden Term in $x - \frac{4}{x} \geq 0$ mit $x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere jeden Term in $x - \frac{4}{x} \geq 0$ mit $x$ .

$x \cdot x - \frac{4}{x} x \geq 0 x$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - \frac{4}{x} x \geq 0 x$

Schritt 2.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{x}$ in den Zähler.

$x^{2} + \frac{- 4}{x} x \geq 0 x$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{- 4}{x} x \geq 0 x$

Schritt 2.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} - 4 \geq 0 x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$x^{2} - 4 \geq 0$

Schritt 2.3

Löse die Ungleichung.

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Schritt 2.3.1

Addiere $4$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$x^{2} \geq 4$

Schritt 2.3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{x^{2}} \geq \sqrt{4}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq \sqrt{4}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.2.1

Vereinfache $\sqrt{4}$ .

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Schritt 2.3.3.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| x | \geq \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.3.3.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | \geq | 2 |$

Schritt 2.3.3.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$| x | \geq 2$

Schritt 2.3.4

Schreibe $| x | \geq 2$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 2.3.4.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 2.3.4.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x \geq 2$

Schritt 2.3.4.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 2.3.4.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x \geq 2$

Schritt 2.3.4.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x \geq 2 & x \geq 0 \\ - x \geq 2 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 2.3.5

Bestimme die Schnittmenge von $x \geq 2$ und $x \geq 0$ .

$x \geq 2$

Schritt 2.3.6

Teile jeden Ausdruck in $- x \geq 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Teile jeden Term in $- x \geq 2$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{2}{- 1}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.6.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} \leq \frac{2}{- 1}$

Schritt 2.3.6.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{2}{- 1}$

Schritt 2.3.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.6.3.1

Dividiere $2$ durch $- 1$ .

$x \leq - 2$

Schritt 2.3.7

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x \leq - 2$ oder $x \geq 2$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{4}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \leq - 2, x \geq 2}$

Schritt 5